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. En effet, pour que la surface du second ordre soit un cône ayant pour 

 sommet le point (x, j, z, iij, il faut et il suffit que les équations dérivées 

 par rapport à chacune des coordonnées (X, Y, Z, U), soient satisfaites en y 

 écrivant {x, )\ -, h) au lieu de ( X, Y, Z, U). Je forme l'équation dérivée par 

 rapport à X, et j'y écris (x, /, z-, u) au lieu de (X, Y, Z, U); l'équalion est 



■2X 



1 nx 



z jr u 



z j u 



= o. 



Or on ne change pas la valeur du déterminant en substituant pour la pre- 

 mière ligne cette même ligne moins la seconde ligne; l'équation devient 

 ainsi : 



- X 



2X 



Z Y U 



= o; 



et le déterniinant se réduit à — \ multiplié par le détermniant de l'ordre 

 dix; donc en supposant que ce dernier déterminant se réduise à zéro, l'é- 

 quation dérivée par rapport à X sera satisfaite; et de même, les équations 

 dérivées par rapport à Y, Z, U, en substituant toujours (.r, j, z, u) au 

 lieu de(X, Y, Z, U), seront toutes satisfaites si le déterminant de l'ordre dix 

 se réduit à zéro. c. Q. F. D. 



» 11 convient de remarquer que l'on peut sans perte de généralité réduire 

 à zéro trois quelconques des quantilés )., |ui, v, o; de là on obtient l'équa- 

 tion du cône en substituant, au lieu de l'une quelconque des premières 

 quatre lignes du déterminant de l'ordre dix, la ligne 



I X', Y' Z^ U^ YZ ZX XY XU YU ZU |. 



En considérant la courbe cubique par les six points, on peut supposer que 

 les équations de cette courbe soient 



ju — z^ = o, zy — an = o, xz — y'^ = o; 



cela étant, on aura 



^j^ — f=z o, /J7 — vA — o, «7 — (5- = o 



pour l'un quelconque des points («,, /3,, 7,, è,' . . . («5, i^e, 75, ^t,)-, f^ de là 



