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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Rapport sur un Mémoire de M. Rouché, iiilititlé : 

 Mémoire sur la série tle Lagraiige. 



'Commissaires, MM. Serret, Bertrand rapporteur.) 



n Le problème imporiant à la solution duquel est consacré ce Mémoire 

 a déjà été traité à plusieurs reprises devant l'Académie. L'auteur étudie, eu 

 effet, la série si connue des géomètres sous le nom de série de Lacpanqe; 

 il cherche les conditions de sa convergence et le moyen de distinguer entre 

 les racines de l'équation qui lui donne naissance celle que ie développe- 

 ment représente. Ce sont là des questions dont la solution est trop impor- 

 tante, j'oserai dire trop indispensable, pour qu'elle soit encore à trouver 

 un siècle après la découverte de la série à laquelle elles se rapportent. 

 M. Rouché, dans son Mémoire, n'apporte donc et ne pouvait apporter 

 aucun principe essentiellement nouveau ; les résultats qu'il fait connaitre 

 sont entièrement d'accord avec ceux de Cauchy, et la méthode qu'il emploie 

 est, avec de légères modifications, celle de Lagrange lui-même. Nous pen- 

 sons cependant qu'il a rendu un véritable service à l'analyse en rattachant 

 aux principes mêmes de l'inventeur des résultats dont l'élégance et la net- 

 teté faisaient désirer aux géomètres une démonstration simple et directe 

 qui leur manquait jusqu'ici. 



« C'est dans les Mémoires de C Académie de Berlin pour i 768 que J^agrange 

 tait connaître, pour la première fois, l'expression sous forme de série 

 ordonnée suivant les puissances de a de la racine de l'équation 



(0 z = rz -f- «çj (z), 



et son analyse s'étend sans difficulté au développement d'une fonction quel- 

 conque de la même racine. La démonstration qu'il donne a été abandonnée 

 par les nombreux auteurs qui en ont reproduit le résultat. C'est cette 

 démonstration que M. Rouché prend pour base de ses recherches, et que 

 nous commencerons par reproduire, en profitant d'une simplification élé- 

 gante due au géomètre anglais Murphy. 



Posons z — a^j, l'équation (i) devient 



I - a<P(«-+j) = 0. 

 » Soient Jr^, j^, . . . , j„ les racines; on a, en nommant C une constante, 



j- «9 (a -+-)•) = C(j -fi){r -.;■.). . . (j -jn). 



