( i3o3 ) 



n'est permis que si la fonction — — a un module moindre qne l'unité; 



3" on n'est pas assuré, enfin, que les numérateurs des divers termes de 

 l'équation (A) soient développables en série convergente. 



» M. Rouché, en étudiant cotte démonstration remarquable, et profilant 

 des propriétés aujourd'hui bien connues de toutes les fonctions continues 

 et bien définies, parvient à lever ces trois objections sous la seule condition 

 (ju'il existe un nombre positif /■ tel, qu'en imposant à j la condition d'avoir 



/■ pour moilule, la fonction -^2-^^ — — ait un module constamment inférieur 



à l'unité. Lorsqu'il en est ainsi, il existe toujours une racine, et une seule, 

 de module inférieur à /•, et c'est celle-là dont la formule fait connaître le 

 développement en série convergente. 



» La démonstration s'étend facilement au développement d'une fonction 

 (uielconque de y, et les conditions nécessaires pour que la formule soit 

 exacte sont absolument les mêmes. 



» M. Rouché montre enfin que la condition de convergence à laquelle il 

 parvient, et que Cauchy avait d'ailleurs énoncée sous la même forme, est 

 d'accord avec la condition plus connue donnée aussi par Cauchy, et appli- 

 quée depuis à plusieurs reprises par divers géomètres. 



» Cet énoncé rapide des théorèmes, dont M. Rouché apporte une preuve 

 nouvelle, ne peut pas donner une idée suffisante du mérite de son travail. 

 Les théorèmes, comme rauteur le déclare d'ailleurs expressément, appar- 

 tiennent à Cauchy, et il serait injuste d'en faire honneur à d'autres. Cepen- 

 dant les géomètres qui liront le travail de M. Rouché lui sauront gré de ses 

 efforts et le féliciteront de son succès. L'Académie sait avec quelle activité 

 le grand géomètre qu'elle a peidu prenait tour à tour les questions les plus 

 diverses pour objet de ses méditations. Bien souvent il abordait un Mijet 

 difficile par des voies entièrement nouvelles, s'avançait jusqu'au moment 

 où il croyait apercevoir le principe d'une solution complète, et se hâtait 

 alors de reprendre d'autres études sans donner une forme définitive aux 

 conséquences et aux preuves de ses découvertes. Il en résulte que l'élude 

 de ses Mémoires, souvent difficile pour un lecteur moins instruit, est émi- 

 nemment propre à développer l'espiit d'invention chez un géomètre assez 

 habile pour suivre l'illustre auteur dans les voies inconnues qu'il a ouvertes 

 et assez j)ersévérant pour y récolter la moisson abondante et cachée qu'il y 

 laissait bien souvent. jM. Rouché vient, après d'autres disciples plus direc- 

 tement formés par l'illustre maître, nous (sn apporter une preuve nouvelle. 



