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)) 6. Par une riroite quelconque on peul mener 2 m (m -4- 1) plans tangents 

 à la court >c C. 



» 7. Unplan quelconque contient : i°im (m"— \)[m-\- 2) points^ dont chacun 

 est l'intersection de deux tat^c/enles de la courbe C ; 2" 1 8 m^ — 40 m- + 5 m -f- 18 

 droites^ dont chacune est l'intersection de deux plans osculateurs de la courbe C. 



» 8. Il suit de là que : 



» La perspective de lu courbe C est une courbe de l'ordre 2111+1, et 

 de la cluise 2111(111 + i ), ayant m- points doubles 3, (am^ — i ) inflexions, et 

 2(m — 1) (m' + 3iii- — m — 2) tangentes doubles. 



» î). Les droites tangentes de la courbe C forment une développablc S de 

 l'ordre 2ni(m + i ) ef de la classe 3(2111^ — i), ayant 4(m — i ) (3m + 2) 

 génératrices d'inflexion . 



» 10. Toute droite tangente à la courbe C, en un point, rencontre 

 2(111 — i)(m + 2) droites ipii sont tangentes à la même courbe en d'autres 

 points. Les points oii se rencontrent ces tangentes non consécutives Jorment une 

 courbe gauche R qui est double (courbe nodale) sur la déuelopjiable S. Les 

 plans déterminés par les couples de tangentes non consécutives de C qui se 

 roupent, enveloppent une développablc 2 cpd est doublement tangente à la 

 courbe C. Il suit des 11"' 5 et 7 que la développablc 1 est de la classe 2 (m — i '; 

 (in'-!-3m-— m — o.),etque la courbe R est de l'ordre 2ni(m^— i) (ni + a). 



i> 11. On peut déduire ces propriétés, et d'autres encore, des formules 

 générales données par M. (layley {Journal de Liouville, t. X). 



II. ynuvrUes courbes gauches de tous les ordres sur la surface d'un krperboloïde 



à une nappe, 



» 1*2. Un donne trois fîtisceaux de |)lans, dont les axes soient trois 

 droites P, Q, 11. Le faisceau P soit composé d'un nombre infini de groupes, 

 dont chacun contient m pians. Ces groupes sont supposés en invohition de 

 l'ordre m (*), c'est-à-dire, un quelconque des m plans d'un groupe déter- 

 mine les autres m — i plans du même groupe. (Pour ni = 2 on a l'involu- 

 tion ordinaire.) Le deuxième faisceau soit homographiquc au premier, 

 c'est-à-dire les plans de ces faisceaux se correspondent, un à un, entre eux. 

 Et les plans du faisceau R correspondent anliarmoniquement, lui par fois, 

 aux groupes du faisceau P (et par conséquent aux groupes de Q) (**). 



(*) De Jonquièrf.s, Gcnéralisatinn de la titrnrie de rinvolution [Annali di Mateniatica, 

 Roma, 1859. 



** ^ Si l'on représente un plan quelconque du .premier faisceau par P-f-ÀP' = o et les 



