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» Le lieu des uderseclions des plans cotrespundanls des trois faisceaux est une 

 courbe gauche C de l'onlre m -+- 2 qui coupe m -+- i /ois chacune des droites P 

 et Q, et deux fois la droite R. Cette courbe C est située entièrement sur l'hyper- 

 boloïde I engendré par les deux faisceaux P ei Q. 



« Pour w = I on a la cubique gauche, et on tombe dans la construction 

 donnée par M. Chasles {Compte rendu du ro août 1857). Pour /« = 2 on a 

 la c(nu"be du quatrième ordre étudiée par M. Salmon (Cambridge and Du- 

 blin Math. Journal, vol. V); j'en ai donné la construction dans mon Mé- 

 moire Suite superficie (jobbe delterz ordine ( Atti deU Istitulo Lombardo, t. II 1. 



" Hormis le cas de la cubique gauche (/?2:= i), l'hyperboloïde I est la 

 seule siu'face du second ordre qui passe par la courbe C. 



» 15. Toute génératrice de l. hyperboloide I, du système auquel appartiennent 

 les axes P, Q, rencontre la courbe C en m + 1 points; et toute génératrice de 

 l autre système rencontre cette courbe en un seul point. 



» li. Les faisceaux Pet R(de même que Q et R) engendrent une sur- 

 face gauche de l'ordre m + \ , dont l'axe P est une ligne multiple suivant 

 le nombre m. 



» IS. Par la courbe C, par une génératrice du premier systèuie de V hyperbo- 

 loide I, et par une droite qui s appuie en deux points sur C, on peut faire passer 

 une surface gauche de l'ordre m -t- i , dont la première directrice rectiligne est 

 une ligne multiple suwiuit m. 



» Î6. Si l hyperboloide I et 2111 -I- 3 de ses points sont donnés, on peut dé- 

 crire par ces points, sur la surface i, deux courbes C. 



» 17. Si autour de deux génératrices du premier système de l hyperboloide V 

 on fiit tourner deux plans qui se rencontrent sur la courbe C, ces plans engen- 

 drent deux faisceaux homographiques. 



» 18. Ily a im génératrices du premier système de l'hyperboloïde 1 qui sont 

 tangentes à la courbe C. 



i> 19. Le lieu d'une droite mobile qui s'appuie en deux points sur la courbe L 

 et en un point sur une droite fixe L, est une surface de l'ordre (m + \Y. Les 



,. , , T I ■ I I I m f m -I- i) 

 lignes (^ et L sont multiples suivant les nombres m 4- 1 et — ^- —^ respective- 

 ment. 



plans rorrespoiulaïUs dts autres faisceaux par Q -t- piQ' := o, R-(-vR' = o, on aura entre 

 >, pi, V deux relations de la forme : 



a -h èV)fi + a' -t- i'X = o, (c).'" -i-dl'""' -t- . . . ) v -t- c' X" -(- rf')."'-' + . . . z= o. 



C. li., 181.I, l"-»- Semeslie. (T. LU, W» 2.=>., '7^ 



