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 » Nous avons fait abstraction du cas où la vitesse serait nulle à un mo- 

 ment donné. Si ce cas se présentait, on aurait au bout d'un petit instant à 



dr 

 partir de ce moment, d'après (3), — = o. En prenant ce moment pour ori- 

 gine des temps, le mouvement subséquent serait donc régi par les formides 

 ci-dessus, avec Va = o et a=:o. 



» L'équation différentielle du méridien de la nappe s'obtiendra en por- 

 tant dans (6) la valeur de v tirée de (5). Il est clair que, si p — br n'est 

 jamais nul, elle donnera pour dr une valeur parfaitement déterminée en 



ds 



fonction de ds, et l'on aura ensuite dt^=^—-> dz=^àz sjds"^ — dr'-, le signe 



du radical étant indiqué par (7). Donc on obtiendra de proche eu proche 

 r, z el t en fonction de s, et il y aura pour la nappe une forme jierma- 

 nente possible, et une seule. Si p — èr s'annule durant le mouvement, on 

 verra, en tirant celte expression de (8) et en différentiant, qu'elle a, un peu 

 avant de s'annuler, sa dérivée de grandeur 6nie et d'un signe contraire 

 au sien; donc elle change de signe en s'annulant, et continue à être par- 

 faitement déterminée. Par suite, il existe, comme dans le cas précédent, 

 une forme permanente de la nappe, et une seule. Enfin, si v — /;/• est nul 

 pour ^ = o, il y a encore, d'après (6) et (7), une forme possible, et une 

 seule, pourvu que dr et dz ou sina et cosa soient de signes contraires, 

 tandis qu'il n'en existe pas si sina et cosa sont de même signe. En résumé, 

 le jiroblènie n'admet jamais qu'une solution, et il en admet une, sauf dans un 

 cas tout particulier. 



» Les formules de (5) à (9) sont propres à montrer les principales cir- 

 constances du phénomène; mais, avant de les étudier, je vais chercher à 

 quelle condition la forme de la nappe est stable ou instable. 



» Pour cela, je supposerai qu'on assujettisse la najipo, au moyen d'une 

 action normale de grandeur convenable exercée en chacun de ses points, 

 à avoir, à partir du plan circulaire, luie forme quelconque de révolution 

 autour de l'axe des z. En appelant R et Z les composantes de la réaction, 

 égale et contraire, exercée par l'unité de masse du liquide, et en les joignant 

 à la pesanteur et à l'action capillaire, on trouvera comme ci-dessus, pour' 

 équations du mouvement : 



(,o) -^^J,d[[.-br)% + bs'\, -Z = ^^d[i^.-brY^]-s, 



d'où l'on déduira de même pour la vitesse la valeur (5). 



» Concevons actuellement que la forme à laquelle on assujettit la nappe 

 coïncide, depuis le plan circulaire jusqu'à une valeur quelconque de z, avec 



