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ALGÈBRE. — Procédé pour résoudre^ en nombres enliers, l'écjualion 

 indéterminée A 4- Bi' = ir. Note de M. jX. de Khamkof. 



« On sait que l'équation du second degré à deux inconnues se réduit 

 à la forme simple que je viens de transcrire. A et B sont des nombres entiers 

 connus, et i- et ir deux carrés parfaits qu'il s'agit de déterminer. De plus, 

 on sait que les conditions essentielles à considérer sont : A > B, B > o et A 

 n'est ni un carré, de même que B, ni un multiple d'un ou de plusieurs 

 carrés, et par conséquent u et t sont premiers entre eux. 



» Lagrange et Gauss ont proposé deux méthodes différentes pour ré- 

 soudre cette question. Le |)rocédé de calcul, très-élémentaire, qui doit con- 

 duire au même but, et que je me propose d'exposer ici, n'a rien de com- 

 mun avec aucune de ces méthodes. 



» Exclusivement basé sur des propriétés connues des nombres carrés et 

 sur la nature des coefficients A et B, il ramène la solution de l'équatiou 

 proposée à un calctd tout aussi élémentaire que la recherche des nombres 

 premiers à l'aide du crible d'Erastosthène. 



» Les propriétés des carrés dont je viens de parler sont : 



» 1° Tout nombre terminé par 2, 3, 7 et 8 n'est pas un carré. 



« 2° Les dizaines des nombres carrés sont toujours paires, sauf le cas où 

 le carré se termine par 6, chiffre final, toujours précédé d'une dizaine im- 

 paire. Dans tout carré terminé par 5, ce chiffre est précédé de 2, et enfin 

 dans tout carré terminé par o, les dizaines manquent aussi. 



» Il ne peut y avoir ainsi en tout que 22 terminaisons de carrés, no- 

 tamment 00, o4, 24, 44) <34) 84> 16, 36, 56, 76, 96, 01, 21, 4i) 61, 81, 

 23, 09, 49, 69, 89. 



» Nous désignerons cette série, dans tout ce qui va suivre, par série (a). 



» Il est clair que les carrés terminés par les chiffres réunis dans la 

 série [u] auront pour racines tous les nombres naturels, depuis zéro jus- 

 qu'à l'infini. 



» Mais si nous nous bornons à la première centaine, nous verrons que 

 les carrés se terminant par 00 correspondent aux racines o et à toutes les 

 dizaines, que les carrés terminés par 25 correspondent à toutes les racines 

 multiples impairs de 5, que les 80 autres nombres, restant de cette centaine, 

 se répartissent entre les 20 terminaisons finales des carrés, et que chaque 

 terminaison correspondra ainsi à quatre nombres de la première centaine. 



C. R., 1869, 2« Semestre. (T. LXIX, N" 3.) ^5 



