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 spécial. Donc, si an lien d'v rechercher toutes les racines correspondant 

 aux terminaisons de lâ et de t^, nous nous proposions de reconnaître si, 

 entre deux limites données, il y a des valeurs numériques qui satisfont 

 à notre équation, nous aurions simplement à faire ceci : écrire^ entre ces 

 limites, la série naturelle des nombres, y barrer tous les nombres corres- 

 pondant à des carrés non compris dans la série des terminaisons de t- et 

 de lâ, rejeter tous les facteurs de A qui ne sont pas communs à A et à B, 

 de même que tous leurs multiples; rejeter toutes les puissances imj)aires de 

 ces facteurs, et enfin tous les nombres que ne satisferaient pas à la condi- 

 tion m>^E\/B. Après cette épuration, notre série ne contiendrait que peu 

 de valeurs qu'il nous resterait à soumettre à l'épreuve des formules que 

 nous venons d'indiquer. Ainsi, sauf cette dernière épreuve, notre procédé 

 est tout à fait analogue à celui du crible d'Ératosthène, et, avec une Table 

 de diviseurs et une Table de carrés, ne présentera aucune difficulté, d'au- 

 tant pins que chaque cas particulier indiquera des artifices spéciaux qui 

 abrégeront cette recherche (i). 



» Je terminerai cette Note en observant que, quoique j'aie borné dans 

 son titre l'application de mon procédé à la recherche des valeurs entières 

 de u et de t, on pourrait très-bien l'appliquer aussi à celle des valeurs frac- 

 tionnaires de ces inconnues; seulement, au lieu de multiplier la série («) 

 par les deux derniers chiffres de B, il faudrait la multiplier aussi par les deux 

 derniers chiffres de A, et, en outre, la distinction des terminaisons possibles 

 du carré de la nouvelle inconnue, introduite dans le problème, présenterait 

 un peu pins de complication. Le même procédé, appliqué à la résolution 

 de l'équation N = .r-— j-, où N est un nombre donné impair, n'exige pas, 

 pour trouver x et j, la décomposition de N en ses facteurs premiers, et les 

 fournit ainsi très-souvent plus facilement que la division ordinaire, surtout 

 si N est grand, et permet ainsi déjuger si N est premier ou non. Je l'ai éga- 

 lement appliqué avec succès à la décomposition des nombres en quatre 

 carrés et à la recherche des facteurs linéaires des formes quadratiques. » 



(l) L'application de ce qui précède au calcul des valeurs de t et de u, de l'exemple V du 

 Mémoire de Lagrange : " Sur les prnblf-mrs indrtiTinirn's du second degré », dépassant les 

 limites réglementaires, a été omise. 



