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 on saura déterminer les lignes de courbure de cliacune des surfaces faisant 

 partie du système. Si, par le centre d'une spliére, on mène des parallèles 

 aux normales de l'une des surfaces, à un point de la surface correspondra 

 un point de la sphère. Aux deux systèmes de lignes de courbure de la sur- 

 face, correspondront sur la sphère deux systèmes de lignes qu'on sait être 

 orthogonales. On voit donc que, ioutes les fois qu'on aura un système 

 triple orthogonal ou simplement les lignes de courbure d'une surface, on 

 pourra obtenir, par des éliminations, un système de lignes sphériques se 

 coupant à angle droit. De ce système^ on peut d'ailleurs, au moyen d une 

 projection stéréographique, déduire lui système de lignes planes orthogo- 

 nales. Donc : Tontes les fois qu'on <o»nnkrn un système triple formé de surfaces 

 orlliocjonnles, on pourra, par îles éliminations, en déduire un système de courbes 

 planes orthogonales. 



» Si l'on examine les opérations analytique»par lesquelles on passe d'un 

 système à 3 variables à un système orthogonal à 2 variables, on remarque 

 que ces opérations conservent un sens bien défini et sont encore po.ssibles 

 lorsqu'on emploie^ au lieu d'un système de surfaces orthogonales, à 3 va- 

 riables, JT, /", z, un système orthogonal à n variables. Il est facile d'établir, 

 en toute rigueur, qu'elles conduisent à un système à » — i variables; mais 

 ces opérations analytiques ne pourraient être interprétées géométrique- 

 ment, au moins d'une manière simple, que si l'on admettait la notion d'es- 

 paces ayant plus de trois dimensions. 



)) Quoi qu'il en soit, on voit que, si l'on connaît un système orthogonal 

 à 4 variables, on en déduira un système à 3 variables, c'est-à-dire un sys- 

 tème triple de surfaces orthogonales; de même, d'un système à 5 variables, 

 on pourra déduire un système à 4 variables et de celui-ci un nouveau sys- 

 tème à 3 variables, et ainsi de suite. 



» Il résulte donc de ce qui précède, que si l'on connaît un système or- 

 thogonal à Tui nombre quelconque de variables, on pourra obtenir une 

 iufunté de nouveaux systèmes aussi généraux que l'on déduira du pre- 

 mier par des éliminations successives. 



» On sait quelle est l'importance en mécanique des systèmes orthogo- 

 naux à n variables. L'un d'eux, le système des coordonnées elliptiques, 

 est bien connu. On déduira de ce système un second .système orthogonal 

 qui, pour le cas de 3 variables, se compose des surfaces du quatrième degré 

 étudiées dans ma précéilente Communication. De ce système du quatrième 

 ordre, on déduit un nouveau système formé généralement de surfaces du 

 huitième ordre, et ainsi de suite. Pour étudier ces nouveaux systèmes, je 



C. R., 1869, 3« Semestre. (T. LXIX, No6.) 5a 



