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 mouveiiient sensible, qui cependant, dans mes expériences, ne s'éleva pas 

 à I degré.... (Zantedkschi, Annnli di Fisica, p. iS/j-iSg; Padoue, impri- 

 merie de A. Sicca ; i849-i85o.) » 



GÉOMÉTRIE. — Note sur quelques propriélés cjénérales des surfaees enurbes; 



par M. E. Roger. 



« Parmi les propriétés des surfaces continues, on n'en connaît qu'un 

 très-petit nombre qui soient absolinnent indépeiidanles de la nature parti- 

 culière de la surface à laquelle elles se ra[)[)ortent. A ce titre, je demande 

 à l'Académie la permission d'énoncer ici les théorèmes suivants, qui pré- 

 sentent précisément ce degré de généralité. 



» 1. Imaginons qu'on ait tracé, autour d'un point quelconque M d'une 

 surface, toutes les sections normales, et c|u"on leur ait donné lUie même 

 longueiu- infiniment petite /; les extrémités de ces lignes, projetées sur le 

 plan tangent en M, formeront une courbe fermée 2. Une autre courbe fer- 

 mée 1' peut s'obtenir en projetant, sur le même plan tangent, la série des 

 points situés, sur la surface, à la même dislance l du point central M. Cela 

 posé, en désignant respectivement par L et L', S et S' les périmètres et les 

 aires des deux courbes 2 et 1', et par L„ et 2o le périmètre et l'aire d'iui 

 cercle de rayon /, on aura, quelle que soit la longueur infinitésimale /, 



Lq— 41^' + 3L = o, 

 S„- 4S' + 3S = o. 



» Ces relations se réduisent à des identités lorsque la surface est plane, 

 puisque, dans ce cas, on a 



L,= L = L', S„=S = S'. 



» La démonstration des deux théorèmes qu'expriment les équations 

 précédentes est extrêmement simple lorsque le point M apjjartient à une 

 sphère. Dans le cas le plus général, on y parvient sans difficulté en se ser- 

 vant de coordonnées curvilignes convenablement choisies. 



» II. Soient A et B les rayons principaux de la surface au pouil M; les 

 différences L„ — L, S^ — S, Lq— L', So— S' sont proportionnelles, |)Our 



une même valeur de /, à la fonction -^ (^'"^ ÏJb "^ ë^j' ^^^"^ """^ avons 

 désignée ailleurs (i) sous le nom de eoiiihure de ta surjace. En conséquence, 



(i) Coniplfs rc/i(/ii.\, l. LXVIH, |>. 36C). — Jiiiiulcs des 3Jii/fx, l. XIV; 1868. 



