( M'^7 ) 



M Comme y; = 5(S) est une solution particulière de l'équation, on a 



f{n\ i'drX 



le résultiit de l'élimination est l'équfîlion (2) 



d'y \ dx , 



(^) 



d-^' si /{a:, y) 



» Tontes les solutions de celte équation s'obtiendront donc en imaginant 

 toutes les surfaces développables ayant leur arête de rebroussement sur 

 l'une quelconque des surfaces (3) et s'ajipnvant sur la courbe r) = 5(2). La 

 recherche de ces surfaces conduit à une équation ddférentielle du premier 

 ordre contenant une constante arbitraire X; c'est donc une intégrale pre- 

 mière de l'équation. 



1) Les deux équations (1) et (2) sont liées, comme on le voit, de telle 

 façon que la connaissance «le tonte intégrale particulière de l'une con- 

 duit à une intégrale |)rei)iieif' de la seconde, contenant nue constante ar])i- 

 traire. 



» La relation qui existe entre les solutions de ces deisx équations peut 

 être énoncée sous la forme suivante : 



» Si l'on construit dans le plan z= o une corirbe représentant une solu- 

 tion quelconque de l'équation (i), et dans le plan 2 = 1 une courbe repré- 

 sentant une solution quelconque de l'équation (2), la développable circon- 

 scrite à ces deux courbes a son arële de rebroussement située sur une 

 surface du second ordre, 



» On voit, par ce qui précède, que la solution de l'équation (2) peut se 

 ramener à celle de l'équation (i), et réciproquement. 



)) Supposons, en particulier, â=i=^ri^o; l'équation (1) deviendra 

 alors 



(5) ''^ ^"' 



cette équation étant homogène par rapport à x.j^ dx, dj, d'- y,..., on sait, 

 par un changement de variables, ramener son intégration à celle d'une 

 autre équation du premier ordre; si donc on sait résoudre cette équation, 

 on même si l'on peut en trouver une intégrale particulière, ce qui fournira 

 une intégrale de l'équation (5) avec une constante arbitraire, on pourra 

 intégrer complètement l'éqTiation (a). 



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