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 prétention de faire reposer la science sur le raisonnement seul, sans y laisser 

 intervenir le sentiment intime relatif aux idées d'espace, semble absolu- 

 ment chimt^rique ; l'évidence, quoi qu'on fasse, doit être invoquée, c'est 

 sur elle seulement que peuvent reposer les idées premières de ligne droite 

 et de plan. Un être autrement organisé que nous et privé de ce sens com- 

 num que l'on invoque, sans parfois le dire explicitement, pourrait pos- 

 séder les facultés du raisonnement les plus développées, sans devenir 

 capable d'étudier la Géométrie d'Euclide, où la logique lui montrerait 

 clairement des lacunes que la claire vue des premiers principes ne sau- 

 rait combler pour lui. 



» La démonstration du j)Ostiilatum d'Euclide ne suffirait donc pas pour 

 changer le caractère logique et le degré de certitude des études géomé- 

 triques. Faut-il en conclure qu'elle soit sans intérêt et que toute tentative 

 faite dans ce sens doive être systématiquement repoussée? Nous ne sau- 

 • rions le penser; le problème tant de fois abordé a acquis, par le souvenir 

 même de tant d'efforts infructueux, l'intérêt qui s'attache à une difficulté 

 incontestable. Des recherches fort singulières et d'une nature toute spé- 

 ciale dans l'histoire de la science mathématique, sont venues depuis un 

 demi-siècle accroître encore cet intérêt. 



» Un géomètre ingénieux, Lobatchewski, de Kasan, a osé se demander : 

 Que deviendrait la Géométrie si, le poslulaluin d'Euclide étant inexact, la 

 somme des angles d'un triangle différait de deux angles droits? Esprit 

 puissant et sagace, profondément instruit de la science la plus élevée, 

 Lobatchewski^ par une suite de raisonnements solidement liés à ses pré- 

 misses, a obtenu d'étranges résultats, constituant une Géométrie nouvelle, 

 à laquelle sa hardiesse n'a |)as osé donner d'autre nom que celui de Géo- 

 inclrie imaginaire. L'illustre Gauss en a singulièrement grandi l'importance 

 en la déclarant coitslruile de main de maître et conforme, dans les traits 

 piiucipaux, à des résultats qu'il possédait depuis longtemps. 



» Fortifiées par un tel témoignage, les assertions de Lobatchewski ont 

 été souvent reproduites; on a substitué au nom prudent de Géométrie ima- 

 ginaire la dénomination plus hardie de Géométrie non Euclidienne, et, sans 

 avoir sans doute aucun disciple sérieusement convaincu, Lobatchewski a 

 entraîné plus d'un admirateur à poursuivre après lui le caprice de cette 

 débauche de logique. 



» M. Carton, dans un Mémoire récennnent piéseuté à l'Académie, admet, 

 comme l'ont fait avant lui les géomètres qui ont traité la question, couuue 

 Legendre en particulier, et comme liObatchewski lui-même, les idées 



