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 fondanientales relatives à la ligne droite et au pian. La ligne droite est 

 indéfinie, elle peut être prolongée dans les deux sens sans aucune limite, 

 deux de ses parties peuvent s'appliquer l'une sur l'autre, et elle ne peut 

 enfin être coupée qu'en un seul point par une autre ligne droite; le plan 

 lui-même est indéfini, et l'on peut y juxtaposer, dans une direction quel- 

 conque, un nombre infini de figures égales entre elles. Cela étant adn)is, 

 comme on doit le faire lors même qu'on n'accepte pas l'évidence du 

 postutatum d'Euclide, M. Carton s'efforce de démontrer ce jiostiilnliini 

 avec la même rigueur que les autres propositions de la Géométrie élémen- 

 taire, et il nous semble qu'il y est parvenu. Le problème évidemment 

 équivalent auquel s'attaque M. Carton est la détermination de la somme 

 des angles d'un triangle. Legendre s'y est exercé à plusieurs reprises sans 

 se satisfaire définitivement. Ses efforts cependant n'ont pas été infructueux, 

 et, sans pouvoir prouver rigoureusement que la somme des angles d'un 

 triangle est égale à deux angles droits, il a établi en toute rigueur qu'elle 

 ne peut être plus grande. C'est le point de départ de M. Carton, et nous 

 l'admettons avec lui. Nous devons indiquer les propositions préliminaires 

 sur lesquelles repose sa démonstration. 



)) Si en deux points A et B d'une ligne droite on élève deux perpendi- 

 culaires AP et BQ (le même longueur, la figure ABPQ est nommée par lui 

 un quadrilatère rectangle, les deux angles en A et B étant droits par défini- 

 tion, et les deux autres restant inconnus, mais devant avoir nécessairement 

 iHie somme moindre que deux droits. 



» Premier lemme. — Si, par le milieu K de AB, on élève ime perpendi- 

 cidaire qui rencontre PQ en G, la ligne KG est perpendiculaire à PQ, 

 comme le prouve l'égalité des figures BKGQ et ARGP, qui sont superpo- 



sables. 



)) Deuxième lemme. — Si l'on élève une perpendiculaire AP à une 

 droite AB, et que par son extrémité P on élève une per|)endicidairc PX à 

 AP, les points de PX seront tous à une distance de AB égale nu moins 



à AP. 



» Soit en effet M un point tel que la perpendiculaire MQ abaissée sin- 



AB soit moindre que AP. 



» Prolongeons QM jusqu'à G, de telle sorte que QG = AP ; si, par le 

 milieu I de AQ, on élève une perpendiculaire à AQ, cette perpendiculaire 

 qui coupe PM en R et PG en L sera, en vertu du lemme précédent, per- 

 pendiculaire aussi à PG. Mais dans le quadrilatère APKI, trois angles sont 

 droits; le quatrième, dont le sommet est en K, est donc fu plus, droit, et 



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