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 inr consrqnenl son siipplériicnt LKP est nu innins droit. Le triangle PLR 



aurait donc nn angle droit et un angle an moins droit. Ln somme de ses 

 ancjps surpasserait deux droits, ce qui est impossible. 



.1 Tromièmc leininc. — Si tous les points de la perpendiculaire PM, dé- 

 îiiiie dans le lemme précédent, ne sont pas à la même distance de la 

 droite AB, ils s'en éloigent de plus en plus à mesure qu'on s'avance sm- 

 cette droite en s'éloignant du point P. Si, en effet, la distance, après avoir 

 augmenté, pouvait diminuer, il existerait évidemment , à cause de la 

 continuité, deux points M' et M", dont les distances M'P', M"P" à AB 

 seraient égales; la perpendiculaire IK, élevée au milieu de P'P", rencon- 

 trerait alors PM à angle droit, en vertu de notre premier lemme, et l'on 

 aurait un quadrilatère PIKA, dont les quatre angles seraient droits. 



» Or Lobafchewski a prouvé que, si dans un seul triangle la somme des 

 angles est égale à deux droits, ou dans un seul quadrilatère égale à quatre 

 droits, la somme des angles d'un triangle quelconque serait, par une 

 conséquence nécessaire, égale à deux angles droits. 



» Il faut donc nécessairement admettre que les points de la droite PM, à 

 partir du point P, s'éloignent de plus en plus de AB, s'ils n'en sont pas à 

 une distance constante. 



» Ces lemmes étant établis, considérons un triangle ABC, il a au moins 

 deux angles aigus: supposons qu'ils soient adjacents à la base AB; prolon- 

 geons cette base indéfiniment, et portons sur elle n — i longueurs égales 

 à AB, BB,, B, Bj,..., B„_2B„_,, n étant un nombre arbitraire; sur ces di- 

 verses lignes, formons des triangles égaux à ABC, B, C, B, BjCaB,,..., 

 B„_| C„_,B„_2, et joignons par des lignes droites les sommets CC,, C|Cj,..., 

 C„_2C„_,; il résulte deslhéorèmesprécédentsque cette ligne, droiteou brisée, 

 CC, Cj... C„_,, n'aura aucun point dont la distance à AB surpasse la hau- 

 te;ir CP du triangle AiîC; jiortons donc sur cette liauleur une longueur PR 

 plus grande que PC; par le point K, élevons une perpendiculaire RX à PR, 

 celte ligne RX laissera au-dessous d'elle tous les sommets C, C,,..., C„_|, 

 Formons des triangles en même nombre n que les triangles ACB, BC, B,,..., 



