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les recherches de Géomélrie jHue, dans la théorie des intégrales simples, 

 dans celle des permutations des valeurs d'une fonction multiple, dans celle 

 de la marche continue d'une fonction dont la variable varie suivant une 

 loi donnée, enfin dans la théorie de la convergence de la série de Taylor. 

 Les propriétés remarquables dont elle jouit m'ont paru pouvoir intéresser 

 l'Académie. 



» 1. L'enveloppe imaginaire des conjuguées d'une courbe y (x, ^) = o 

 est, par sa définition même, le lieu des points imaginaires de contact des 

 tangentes au lieu total y(^, j) = o, dont les coefficients angulaires sont 

 réels. 



» Les m {m — i) tangenles parallèles à une direction réelle donnée que l'on 

 peut mener à une courbe de degré m sont donc toutes les tangentes que Con peut 

 mener parallèlement à cette direction, tant à la courbe donnée qu à l'enveloppe 

 imaginaire de ses conjuguées. Les deux courbes sont sous ce rapport supplé- 

 mentaires. 



M 2. L'enveloppe imaginaire touche l'enveloppe réelle en ses points d'inflexion 

 et réciproquanent. 



» 3. Elle a pour asymptotes les asymptotes à coefficients angulaires 

 réels du lieu proposé, c'est-à-dire que, si le calcul a donné une asymptote 

 telle que 



j- = nix ■+■ p -h qsj— I , 



^ pouvant être nul, l'équalion 



j = inx -h p -hq 



représentera réellement une asymptote à l'enveloppe imaginaire. 



» 4. Du reste, si -^ a la valeur m en un point.r=a-H/3v'— i,j=a'-\-^'\/— i 



de l'enveloppe imaginaire, la tangente à cette enveloppe en ce point sera 



représentée par 



j — a.' — fj' =^ m[x: — a — p). 



» 5. Si 



j- = nix -\-'^[m) àz y/^ (rn) 



est l'équation générale des tangentes à la courbe réelle, 



jr = mx + o[m) ± \J— 4'('«) 



représente réellement les tangentes à l'enveloppe imaginaire, de sorte que 

 quand les deux enveloppes coexistent elles sont réciproques l'une de l'autre. 

 » 6. J'ai démontré autrefois [Journal de Mathématiques, 1862) que si 



