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1.1,. , , — 1 1 j 1, - L ^ '■'■'^ ' J 



Ion désigne par r+r \ — i la valeur de 1 expression — — =^ en un 



point de l'enveloppe imaginaire, 7'4-r'est le rayon de courbure de cette 

 enveloppe en ce point; voici une proposition nouvelle assez remarquable 

 sur le lieu des centres de courbure de l'enveloppe imaginaire : La développée 

 de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d un lieu est l'enveloppe imaginaire 

 des conjuguées de la développée du lieu, et réciproquement. 



» 7. L'enveloppe imaginaire des conjuguées de l'hyperbole est l'hyper- 

 bole de mêmes axes, changés de réel en imaginaire, et réciproquement. 

 Mon Mémoire sur les périodes des intégrales simples et doubles, que l'Aca- 

 démie a approuvé dans sa séance du 8 mai i85/|, sur le rapport de 

 MM. Cauchy et Sturm, contenait la démonstration de ce fait que la période 

 imaginaire de l'intégrale reclificatr'ice de l' hyperbole est, au facteur \/ — i près, la 

 différence des longueurs totales de [ hyperhole supplémentaire et des asjinptoles 

 (ommu)ies [Journal de Malhémalicpies, 1859). J'ai reconnu plus tard [Jouinnl 

 de Mathématiques, 1861) que la période réelle de la niénje intégrale est (a 

 différence des longueurs totales de l'hyperbole proposée et de ses asymptotes. Il 

 m'a suffi pour cela de constater que les intégrales rectificatrices des deux hy- 

 perboles supplémentaires ont les mêmes périodes changées de réelle en imaginaire, 

 et léciprocpieinenl. Cette dernière relation est générale. Les intégrales rectifi- 

 catrices de l'enveloppe réelle et de l'enveloppe imaginaire d Un même lieu ont 

 toujours les mêmes périodes, au facteur \/ — i près. 



)) 8. J'avais ramené autrefois (/ourno/ f/eJ/rt^/ie'm/'f/i(jf((es, iSSg) l'intégrale 

 Ij-djc, prise entre des limites imaginaires [x^, )'„), (jc,,j',) appartenant 



à des conjuguées tangentes à la courbe réelle, à la somme de trois aires, 

 celles des segments de ces deux conjuguées correspondant aux arcs compris 

 entre les points limites et les points de contact avec la courbe réelle, et celle 

 du segment de la courbe réelle correspondant à l'arc compris entre les 

 points de contact avec les deux conjuguées passant par les limites. 



» La même décomposition s'appliquait bien encore à l'inlégrale lorsque 

 les points limites appartenaient à des conjuguées tangentes seulement à 

 l'enveloppe imaginaire; la partie intermédiaire de l'intégrale était la valeur 



de l'intégrale \jdx, prise le long de l'enveloppe imaginaire, entre les 



points de contact de cette enveloppe avec les conjuguées passant par les 



C. B., 1875, -i' Semestre. (T. LXXV, K» 1.) ^ 



