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 P'T'j la normale et les tangentes aux deux courbes de courbure par le 

 point P'. Or, si les surfaces p forment partie d'un système orthogonal, 

 évidemment PP' sera élément d'une courbe de courbure d'une surface p, 

 et aussi d'une surface pj des deux autres familles du système orthogonal, 

 et PT,, P'T'j seront les normales à deux points consécutifs de cette courbe 

 de courbure de la surface p, : et de même PTo et P'T'^ seront les normales 

 à deux points consécutifs de cette courbe de courbure de la surface p^. 

 Donc PT, et P'T'j se rencontrent; et de même PTo et P'T'^ se rencontrent. 

 En se souvenant que PT, , PTo sont perpendiculaires l'une à l'autre, et de 

 même P'T'^, P'T',, on voit sans peine que les deux conditions se réduisent 

 à une seule. Réciproquement, si PT, , P'T', se rencontrent (ou, ce qui est 

 la même chose, PT, et P'T'^), la famille p fera partie d'un système ortho- 

 gonal ; ce qui est le théorème de M. Levy. 



» 3. Soient (X, Y, Z) les fonctions dérivées de p du premier ordre; 

 (a, b, c, f, g, h) celles du second ordre; (a, b, c, f, g, h, i, j, k, 1) celles 

 du troisième ordre, savoir : 



(X, Y, Z) = (?,,?,, J,)p, 



(a, b, c, f, g, h) = (?;-, rç,y^, ^.c\, ?,?^, 3.,?,)p, 



{a, 6, c,/, g, h, i,j, k, l) = {n, ?3, 3?, ^%,K^,., ^l\, ^^.^l, 3.3^;,3,3^,?p,.3,)p; 



soient de plus 



A=2(Zh-Yg), F = X(c-h)4-Yh-Zg, 



B = 2(Xf-Zh), G = Y(a-c)+ Zf-Xh, 



C = 2(Yg-Xf), H = Z(h-a)-l-Xg-Yf, 



valeurs qui satisfont aux équations 



A + B + C = o et (A, B, C, F, G, H)(X,Y, Z)=' = o. 

 Alors les tangentes PT, , PT^ sont données par les équations 



(A, B,C,F,G,H)(x, r,zr = o, 



Xjr + Yj + Zr. = o, 



et en partant de ces équations, mais en supposant que pour le point P les 

 valeurs de X, Y soient X = o, Y = o, M. Levy obtient comme condition 

 de l'intersection dont il s'aeit 



dj; dy) dxdy Z dx \dy^ dx- ) Z 



