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seront 



et si cette droite rencontre PT,, alors en prenant S, vj, ^ pour les coordon- 

 nées du point d'intersection, nous aurons o = c?x + X, èB -\- 6(îX,, ... : 

 ou en éliminant o$ et 0, 



c?x, X,, 5X| 

 èj, Y,, §Y, 

 (?z, Z,, ÔZ, 



O =: 



ou, ce qui est la même chose, 



o = 



X, X,, c?X, 

 Y, Y,, 5Y, 

 Z, Z,, èz, 



» Mais nous avons Xo : Y. \ Z, = YZ, - ZY, : ZX, - XZ, : XY, ~ YX, : 

 donc cette équation devient Xo 'ÎX, + Y^ôY, + Z, 5Z, = o. Or nous avons 

 5(X, Xo + Y, Y2 + Z, Z.) = o; l'équation trouvée peut donc s'écrire 

 sous la forme plus symétrique 



X2 §X, + Yo &Y, + Zo 5Z, - (X, 3X0 + Y, ÔYo + Z, 5Z.) = o, 



équation qui exprime la condition pour l'intersection des tangentes PT,, 

 P'T', (ou PTo, P'T,). 



» 6. Dans la démonstration précédente, je me suis servi du théorème 

 de Dupin; mais il convient de remarquer qu'en partant du système ortho- 

 gonal, et dénotant par X, Y, Z; X,, Y,, Z,; Xo, Yo, Zo les dérivées de p, 

 p,, po, respectivement, il serait possible de déduire cette même équation 



des seules équations 



X X, + Y Y,+Z Z, = 0, 



X Xo + Y Yo-hZ Zo = o, 



X,Xo-l-Y,Yo + Z, Z„=:o. 



» En effet, l'équation fut démontrée de cette manière par R.-L. EUis, 

 dans une démonstration du théorème de Dupin, publiée dans l'ouvrage de 

 Gregory [Examples of tlie processes of the dijferential and intégral calculus; 

 Cambridge, 1841). Les premières deux équations donnent X:Y:Z 



= Y,Z, - Y, Z, : Z,X, -ZoX, 



(Y, Z2 -Y^Z,)dx + [Z^^, 



X, Yo — Xo Y, ; on a donc l'expression 



-Z._X^)dx -^ (X,Y2-XoY,)c^z, 



