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 » Pareillement, si l'on observe que l'angle (R, r) est le supplément de 

 celui que forme la direction de R avec la droite qui va du point m à l'origine 

 des coordonnées, on reconnaîtra aisément que le terme — 42Rrcos(R, r) 

 représente le travail qui serait développé si toutes les masses m étaient 

 transportées à l'origine des coordonnées et si, dans ce transport, les direc- 

 tions des forces R restant les mêmes, leurs intensités devenaient constantes 

 et égales à la moitié des intensités réelles de ces forces. 



» L'équation (8) constitue le nouveau théorème; par son origine et la 

 présence des termes dus aux actions mutuelles, ce théorème prend place 

 dans la science de la Mécanique, à côté du principe des forces vives, ainsi 

 qu'il a été dit en commençant. Nous allons montrer que le théorème sub- 

 siste, lorsque l'origine des coordonnées coïncide avec le centre de gravité 

 du système considéré, les axes conservant d'ailleurs des directions fixes. 



i> Pour cela, nous commencerons par établir une équation de la forme (7) 

 qui contienne, à la place des vitesses et coordonnées des masses élémen- 

 taires, la vitesse v,, les coordonnées x,, j,, z,, et le rayon vecteur r, du 

 centre de gravité du système. Désignant par M la somme des masses m, 

 m',..., on aura d'abord 



(9) Mx, — lma;, Mj, = lmr, Mz, = Imz. 



Multiplions les équations (i) respectivement par x,, jr,, z,, et ajoutons; il 

 viendra 



ou, en ayant égard aux relations (9), 



équation qui se transforme, en vertu de relations analogues à (3) et (4), en 



(10) Mi.? = i^-(a>,vx+j,2Y+z,2Z). 



On devra remarquer que les composantes des actions mutuelles disparais- 

 sent des sommes 1 , comme égales et opposées deux à deux : dès lors, 

 l'équation (10) est applicable, sans incertitude^ aux questions astronomiques 

 où l'on considère les mouvements des centres de gravité des systèmes. 



