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 h On se rappelle que ô signifie ^^ + ^;7~ + ^^' 



•> 13. Pour déduire de là le résultat de M. Levy, j'écris d'abord X = o, 

 Y = o; nous avons alors 



[(a), (b), (c), (f ), (g), (h)] = (BZ% AZ"-, o, o, o, - HZ=), 

 et l'équation devient 

 2[(AF-GH)ÔX + (-BG+FH)ÔY]-)-HZ(c?A-ôn)-Z(A-B)(?n=o; 



mais ici 



(A, B, C. F, G, H) = [aZh, - aZh, ah, o, - Zg, Zf, - Z(a - b)], 



et l'équation devient 



2|[f(a - b) - agh]c?X + [g(a - b) + 2fh]c?Y| 



- (a - b)(o^A - ÔB) — 4ho'H = o. 



Mais nous avons c?X = gZ, ùY — fZ, oZ = cZ, et, de plus, 



§A = 2 5Zh- 2gc?Y= 2/Z- + a(cb-fg)Z, 



^B= 2f(?X-2c?Zh =- 2/Z^- 2(ch- fg)Z, 



ÔH =- (?Z(a - b) + goX - fc?Y = (/-/)Z- + (- ac + bc - f= + g=)Z; 



l'équation est donc 



4 fg(a - b) + 4(f^ - g^)li - (a - b)[4 IZ + 4(ch - fg)] 



- 41i[- c(a - b) _ (P _ g=) + (/- /)ZJ = o, 

 ou enfin 



2 fg(a - b) + 2h(P - g=) - Z[(/-/)h + /(a - b)] =o, 



ce qui s'accorde avec le résultat cité. 



» 14. En changeant la signification de X, Y, Z, écrivons p = X -t- Y 4- Z, 

 où X, Y^, Z dénotent à présent des fonctions dex, /, z respectivement; en 

 dénotant par X', Y', Z' les fonctions dérivées de celles-ci, les fonctions 

 premièrement représentées par X, Y, Z seront X', Y', Z'. Je cherche, 

 au moyen de l'équation générale, la condition pour que la famille 

 p = X -h Y -i- Z puisse faire partie d'un système orthogonal. 



» Dénotons par X', X", X'" les dérivées de X, et de même celles de Y et Z, 

 et écrivons, pour abréger, a, |3, y =:= Y" — Z", Z" — X", X" — Y ", nous 



avons 



(a, b, c, f, g, b) = (X", Y", Z", o, o, o). 



