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 lions des deux systèmes de courbes de courbure soient /7=const., <7=const. 



respectivement, alors (en écrivant pour abréger 





d.r 





d'x 



— .T'a 



= JC.., 



dKv 



x^, et de même pour j- et z\ ces coordon- 



d' 



Tp- ^ " i' ■ dp dq ~ " " d(j- 



nées ^, j', z, considérées toujours comme des fonctions de p, q^ seront 

 telles, que 



ji\ JC2 ~f~ j \ y 2 ~i~ '^\^i 



o. 



X. 



Zn X , 



M J'écris ici et dans la suite X, Y, Z =j'i ^-i —J'i^n 

 Xy-y^ — •^2?')- O'i ^ donc identiquement 



Xo-, + YjT) -t-Zr-, = 0, 

 XjCo + Y} o -H ZZj = o, 



et les deux équations mentionnées sont 



a', JT, + Jf.7'2 + ^1 ^2 = o, 

 Xx, + Yj\ + Zj4 = o. 



» Je m'arrête pour remarquer que la dernière équation, dans sa 

 forme originale, peut être remplacée par trois équations de la forme 

 Xi + kXy + Bx, ^ o, et qu'en ajoutant les trois équations multipliées 

 par jc,, j",, Z| respectivement, et aussi multipliées par Xj, jKs» 'j respecti- 

 vement, on obtient les valeurs de A, B, exprimées en termes de 



E = x'J + y] + 27 et G = xl -h jl + zl 



(E, G de Gauss), et que l'un trouve de là 



d\i- 



dp dq 



I r/E rix 

 E dq dp 



I r/G dx 

 G 'di)Tq~^' 



avec les équations semblables en y et z. Ces équations sont, en effet, les 

 équations (10 bis) de Lamé, « Mémoire sur les coordonnées curvilignes » 

 [Lioiiville, t. V, 1840, p. 322). 



» Je suppose que les surfaces de la famille dépendent du paramètre r, 

 lequel pour la surface donnée se réduit k r = o. Par le point {p, q) de la 

 surface donnée on peut mener une trajectoire orthogonale aux différentes 

 surfaces de la famille; les coordonnées £, «i, Ç d'un [loint quelconque sur 

 cette courbe seront des fonctions de p, q, r, lesquelles, pour r = o, se rédui- 



C. R., 1872, 1" Semestre. (T. LXXV, No 6.) 4* 



