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 sent à X, y, z respectivement; et j'écris 



E = jc -h ar -h dr--\- . . . , 

 ri =J' -h lu- -+- er--\-. .., 

 Ç= r. + cr +>=' + ..., 



où n, /?, c, fl, e,f,... sont des fonctions inconnues de p et q. 



» Pour exprimer que la courbe coupe orthogonalemeiit les différentes 

 surfaces de la famille, écrivons pour abréger 



■«îi Çî — ■'32 Çi = X + A/--I- Dr- +..., X. = j, Z2 — Ji Z|, 



Çi ?2 — S2?. = Y 4- Br + Er- -+-..., A = j, Cj— 7-2^,4- /;, z^ — h.z,, 



hs •'Î2 -12-''/. = Z + C/'+ F/- +..., 



(où I, = -^ — -5 comme pour x, y, z). La condition cherchée est 



X-4- Ar+Dr^-f-. .. Y + B/- + Rr'+ . . . Z + Cr H- ?/■'+.. . 



n + 2rf/--t-... è+aer-f-... c-l- 9,fr + . . . 



laquelle doit être satisfaite pour une valeur quelconque de r; on a donc 

 . ^ X Y Z 



, , ^_îi^_5 2gY _ C 3/Z 



savoir, les équations (i) contiennent [a, b, c),5les équations (2) contien ncn 

 de plus {ci, e, f), et ainsi de suite. 



» Pour qu'il y ait un système orthogonal, il faut et il suffit que l'on ait 



?. ^2+ 'Oi V]2+ 'Ç, 'Ç2 = O, 



pour toute valeur de r; on aura donc 



[oj X, X2-\-j,f2-+- z, z^ = o, 



[i] JC, «2+ JCna, -hf, ^2 + J'2 ^) -+- Z( ^2+ ^2 c, = o, 



[2] X, (L+ x^cl^-hy, eî + J'-Ci +^-\j\+ ^2/1 -+-rt,fl-2 + ^f ^2 + ^1 ^2 = '->, 



savoir l'équation [o] est satisfaite d'elle-même; l'équation [i] contient 

 [a, b, c), l'équation [2] contient de plus (r/, e,J), et ainsi de suite. 



» Il paraît donc qu'il y a les trois équations (1), [i] pour déterminer 

 {a, b, c); les trois équations (2), [2] pour déterminer {d, e,j), et ainsi de 

 suite. Mais les choses ne se comportent pas ainsi. On satisfait à (i), [1] par 



