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 nérale pour déterminer, dans tous les cas possibles, c'est-à-dire pour une 

 fonction implicite quelconque, algébrique ou transcendante, celui de ses 

 points critiques où doit s'arrêter la convergence, en raison du système des 

 valeurs initiales de x et dej-, la question s'impose d'elle-même et doit être 

 traitée avec le soin qu'elle mérite. 



» Quoiqu'elle soit facile à résoudre aujourd'hui, je ferai toutefois remar- 

 quer que cette question n'était abordable qu'autant, d'abord, qu'on dis- 

 posât d'un moyen convenable de classification des solutions imaginaires 

 d'une équation à deux variables, ensuite qu'on eût une méthode directe 

 pour déterminer la valeur finale que prendrait la fonction j, assujettie à 

 la continuité, lorsque la variable x serait parvenue de sa valeur initiale à 

 la valeur finale qu'on voulait lui faire prendie, en suivant. une loi de pro- 

 gression donnée; car, quant à se servir de la série elle-même pour calcu- 

 ler les valeurs de j", comme on l'avait proposé, ce ne serait pas réalisable. 

 En effet, quand on aurait calculé trois ou quatre mille termes de la série, 

 on ne serait guères plus avancé qu'en commençant, n'ayant aucun moyen 

 de déterminer une limite de l'erreur commise. 



» Mais j'ai donné, en i85g, dans le Journal de Mathématiques, une mé- 

 thode simple pour déterminer la valeur finale d'une fonction, connaissant 

 le chemin suivi par sa variable, et cette méthode permettra d'assigner, 

 parmi les valeurs de j, fournies par l'équation donnée, celle que représen- 

 terait la série supposée convergente. La question sera seulement alors plus 

 simple que dans le cas général, puisque la valeur finale de^ devant rester 

 la même, quelles que soient les valeurs qu'ait prises x dans l'intervalle, il 

 n'y aura pas à s'occuper de ces valeurs intermédiaires. 



» J'ajjpelle réijion de convenjence l'ensemble des points du plan fournis 

 par l'équation 



/ dy \ .r — j:„ 



Il s'agit de déterminer le périmètre de la portion du plan recouverte par 

 ces points, et la portion de chaque conjuguée qui s'y trouve comprise. 



» Cette courbe passe par le point critique du lieu considéré où s'arrête 

 la convergence de la série, et tous ses autres points ont pour abscisses les 

 quantités qui, retranchées de la valeur initiale .x-„ de x, fournissent des 

 différences de même module que la différence entre j:„ et l'abscisse du 

 point d'arrêt. Ainsi, si 



o", = rt -1- /> V — 1 , y\ = a' -h h' V — I 



