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MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



ANALYSE. — Théorie élémentaire des intégrales simples et de leurs périodes. 

 Mémoire de M. Max. Marie. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires précédemment nommés : MM. Bertrand, Bonnet, Puiseux.) 



« La théorie des intégrales simples, contenue dans le Mémoire Sur les 

 périodes des intégrales simples et doubles, que je présentai à l'Académie 

 en i853, et qu'elle approuva en i854 sur le Rapjjort de MM. Cauchy et 

 Sturm, avait l'avantage de rattacher une question abstraite d'Analyse trans- 

 cendante à des recherches concrètes de Géométrie supérieure; de ramener 

 l'évaluation d'une intégrale prise entre des limites imaginaires à la quadra- 

 ture de courbes liées déjà, par les travaux du général Poncelet, à la courbe 

 réelle dont la fonction explicite ou implicite placée sous le signe somina- 

 toire représentait l'ordonnée; de rétablir enfin, entre la Géométrie et l'Ana- 

 lyse, Iharmonie et le concours qui avaient si puissamment aidé aux progrés 

 de l'une et de l'autre dans les deux derniers siècles, et qui venaient d'être 

 rompus par M. Cauchy. 



» Mais cette théorie reposait sur des études préalables de Géométrie com- 

 parée que les analystes ont eu de la peine à se rendre familières; elle exi- 

 geait peut-être une trop grande contention d'esprit, par suite du mélange 

 continuel des considérations d'Analyse abstraite et de Géométrie pure. 



» I.a méthode que je propose aujourd'hui n'aura plus l'avantage que 

 chacune des conclusions obtenues comprenne à la fois un théorème d'Ana- 

 lyse et un théorème de Géométrie; par exemple, ce théorème de l'équiva- 

 lence des aires des anneaux fermés des conjuguées d'une même courbe, qui 

 constitue, sous une forme même plus intéressante que celle qu'avait pu lui 

 donner le géomètre grec, une extension aux courbes algébriques de tous 

 les ordres du second théorème d'Apollonius, Ttn'b' ainQ = nab; ce théorème 

 ne sera même plus mentionné. Mais la nouvelle méthode aura l'avantage de 

 pouvoir prendre immédiatement place dans les premiers éléments de Calcul 

 intégral. 



» Elle repose sur une formule que j'ai donnée dans mon Mémoire Sur 

 quelques propriétés générales de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu 

 jjlan, mais que j'établirai ici en dehors de tout système de Géométrie idéale, 

 ou d'interprétation des imaginaires en Géométrie. 



» La démonstration que Cauchy avait donnée de ce fait qu'une intégrale 



