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 ne varie généralement pas lorsque la suite des valeurs de la variable qui 

 rejoignent les limites, supposées fixes, change infiniment peu, étant fondée 

 sur les principes du calcul des variations, j'ai dû la changer, pour lui en 

 substituer une plus élémentaire. 



» 1. Si l'on représente la variable x par a + ^\l — i , et la fonction / 

 par «'+ /3'\/— I , la somme des éléments j doc sera définie par une équa- 

 tion en Ire a et |6 qui réglera la loi de progression de x^ et par les limites «o 

 et «,. Elle sera exprimée par 



» Si l'on conçoit les trois courbes dont les coordonnées seraient « 4- (3 

 et a'+P', a — j3 et a'— |3', a et a', et qu'on désigne par S, S' et S, les aires 

 des segments de ces courbes, compris entre l'axe des x et leurs ordon- 

 nées correspondant aux valeurs extrêmes a„ et a, de a, ces aires seront 

 exprimées par 



S = 2(a'+ (3') (f/« + (i|3) = l[a'doL -\- |3'f^|3) -\-l[a'd^ + ^'du), 

 S'= 3(«'- p') [da. - (/p) = 2(a'(/a + (3'f/(3) - 2(aVp + /3Wa), 

 S,= la'doL. 

 » Une combinaison très-simple entre ces quatre équations donne 



S + S' s — S' 



I = 2S, 1 V— I- 



' 2 2 ' 



» 2. Les équations des trois courbes dont la considération a été intro- 

 duite résulteraient d'éliminations très- faciles à indiquer, mais on pourra 

 aussi les construire par points; quant à leurs aires, elles pourront toujovirs 

 être évaluées avec tel degré d'approximation que l'on voudra, par excès 

 et par défaut, par des méthodes connues. 



» 3. Si l'éqiiation qui définit y a ses coefficients réels, elle admettra 

 les solutions (a — |3 y/— i, a'— ^'\J— i ) correspondant aux solutions 

 (a 4- |3 \j— I, a'+ (î'\/— i) et l'on pourra considérer, entre les mêmes 

 limites «„ et a,, la somme F des éléments (a'— ^'sj— i) {da — d<^j\J~ i). 

 Cette nouvelle intégrale s'exprimera au moyen des mêmes aires S, S' et S, 

 par la formule 



T, c S + S' S -S' / 



r = 2S, ^ — V - ï • 



>) i. Pour démontrer que, les limites restant les mêmes, l'intégrale ne 



c. R. 1872, 2" Sememe. ( ï. LXXV, N» 0.) 



