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GÉOMÉTRIE. — Sur la représentation sphérique des surfaces. Note 

 de M. A. RiBAucoun; présentée par M. Bonnet. 



« M. Cayley, dans la séance du 1 5 juillet 1872, a donné à l'Académie la 

 condition pour qu'une f;tmille de surfaces appartienne à un système triple- 

 ment orthogonal. On peut, à l'aide des coordonnées imaginaires souvent 

 employées par M. O. Bonnet, trouver cette condition sous une forme 

 simple, que j'ai commuiîiquée à la Société Philomathicpie en mai 1870. Je 

 me propose de l'établir dans cette Note, parmi quelques résultats relatifs à 

 la représentation spliérique des surfaces. 



» Soient A un point d'une surface (A), B son image sur une sphère de 

 rayon I. Considérons sur cette sphère un réseau isométrique orthogonal 

 tangent en B aux droites BX et BY, pour lequel 



» Désignons par p la distance du centre O de la sphère au plan tangent 

 en A, par ^ et q les distances aux droites BX, BY du point où la normale 

 en A rencontre le plan tangent en B, et par / la distance d'un point M de 

 la nontiale en A au plan mené par O parallèlement au plan tangent en B. 

 On a 



j, I dp I dp 



^^'kdit' '^' ~ Id^' 



» Lorsqu'on donne aux paramètres des accroissements du et dv, on passe 

 du point A au point A' sur (Aj. Appelons Q l'angle que le plan langent 

 en M à la norraalie déterminée par A et A' fait avec le plan passant par BX 

 et le point O. Mes formules générales donnent 



, I dr, d'k \ , j'dr, . , d\ ,^ 



du _ - — - 5 -1- dv + A/ + — - ? 



. \ da A di' / \ « c A du 



^«"g'^ = (di .^, .a \ ' fdi dx- 



""[d7,-^''-^ïd;.'j+'''[d^~ïd7." 



» En introduisant les coordonnées symétriques imaginaires x et /, et 

 posant 



(/p , dp i d''p 



(i = rr-r» ^ = :;r-r^ <^ = — -, — r' 



k-d.i- Vdy A- dx dy 



l'équation de la iiormalie prend la forme remarquable 



da ( l 



d.r h dy c H 



dx\c -A ) -t- dy — 



C. R,, 1872, a» Sfmeitre. (T. l,XX\ , ISû'J.) 



(in 



