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 Le ds- de (A), exprimé à l'aide de ces mêmes quantités, devient 



% = [^-^')[t ^^'^ + i!i + ') ^-^ ''^- + ty ^'J"'] + È S ^^'^ ^^- 



Indiquons quelques applications de ces l'ormulesi. 



» Si l'on suit une ligne de courbure de (A), l'angle 6 doit être indépei 

 dant de /; donc 



da i (la 



e 



dx 

 .2,6 "-'' ^ 



d.r db \ db 



dy ' dy 



j lia 



\/i 



» dv 



» En déformant d'une façon quelconque la sphère (B), et désignant 

 par Z la distance de B à un plan fixe, on sait que l'équation des lignes de 

 courbure de la surface déformée est 



dx 



que l'on rend identique à celle des lignes de courbure de (A) en rempla- 

 çant Z par /?. Il en résulte qu'on peut faire correspondre à une surface 

 applicable sur la sphère une autre surface, les lignes de courbure se cor- 

 respondant, le Z de l'une étant le p de l'autre. On trouve un résultat ana- 

 logue si, au lieu de la distance à un plan fixe, on considère la distance de B 

 à un point fixe. 



11 Cherchons les rayons de courbure de (A) : aux centres de courbure, 

 Q est indépendant de dx et dy, donc 



du l 



-r '^-^ 



dx 1 



1 db 



<^+ - -r 



2 dy 



Désignant par R l'un des rayons de courbure, 



T,o r, / \ / .^.dadb 



R-- 2R(2C + p) + {ic + py-^-j_^ = o. 

 » Pour exprimer que deux directions sont conjuguées, on trouve 



-^dxdx' ^ [c + -\{dxdy' + dydx')+ '— dj df = o. 

 » En écrivant, soit que la somme algébrique des rayons de courbure 



