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 principaux est nulle, soit que les asymptntiqucs sont rectangulaires, on a 

 pour l'équation des surfaces à étendue niiiuma 



2 (fp 



V dx dy 



O, 



dont l'intégrale générale est 



' Idx l dy 



X et Y désignant deux fonctions arbitraires, l'tine de x, l'autre de j^ et 

 X', Y' leurs dérivées. Le dr de ces surfaces devient 



ds'- = Al'- — '-- dx dy. 



dr dy 



» On en conclut que les imaqes sphérùiues des lignes de longueur nulle d'une 

 surfaee à étendue )nininia sont les génératrices de In sphère; ou encore, limoge 

 spliérigue de tend réseau isomélrique tracé sur une surface à étendue minium est 

 un réseau isométrique. Théorème dû à M. O. Bonnet. 



» Cherchons enfin la condition pour que l'équation 



^=/(.r, 7, z) 



représente une famille de surfaces faisant partie d'un système triplement 

 orthoeonal. Soient deux surfaces infiniineiil voisines (A) et (A') corres- 

 pondant aux valeurs z et s + dz; A et A' les deux points où les rencontrent 

 les trajectoires des surfaces AT; A'T' les tangentes aux lignes de courbure 

 de même système passant en A et A'. D'après la remarque de M. Lévy, il 

 faut exprimer que ces deux droites se rencontrent. On y parvient très-sim- 

 plement, en écrivant que, le long de la trajectoire AA', la variation de l'angle 

 de AT avec le plan osculateur en A est égale à l'angle des plans osculalcurs en A 

 et en A'. 



» Soit B' l'image sphérique de A', le plan OBB' est parallèle au plan os- 

 culateur en A à la trajectoire, et l'angle des deux plans osculateurs en A 

 et A' mesure la courbure géodésique de BB'; désignons-le par dy. 



» Soient /3 l'angle de BB' avec BX, 6 l'angle de AT avec BX, |3 — 5 est 

 l'angle de AT avec le plan osculateur en A de la trajectoire. Il faut écrire 



d^ ~ dO = dy. 



dx et dj^ étant les accroissements des paramèîres correspondant à dz lors- 

 qu'on passe de A en A', d'après un théorème de M. Liouville, 



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