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» Il est résulté de là que, relativement aux intégrales doubles, l'enseigne- 

 ment est resté tel qu'il pouvait être en i8/io. 



» Comme il importe que la jeunesse ne reste pas plus longtemps privée 

 d'un enseignement utile, je crois devoir faire, pour la théorie des intégrales 

 doubles, ce que j'ai fait dans le Mémoire précédent pour la théorie des 

 intégrales simples, la dégager de toutes considérations géométriques, au 

 risque d'en diminuer l'intérêt. 



» Je donnerai pour traiter la question deux méthodes, l'une qui ne 

 sera que l'ancienne présentée sous une autre forme, à l'aide d'un théorème 

 nouveau; l'autre qui sera celle que Cauchy aurait sans doute fini par 

 trouver, s'il eût vécu quelques années de plus. 



» Le mode adopté par Cauchy pour figurer la marche d'une variable 

 imaginaire ne pouvait pas être imité dès qu'on avait à considérer seulement 

 deux variables indépendantes. C'est ce qui explique pourquoi ni Cauchy ni 

 les partisans de sa méthode n'ont pu aborder la théorie des intégrales dou- 

 bles. Toutefois, on a pu remarquer, à la lecture du Mémoire précédent, que 

 ce mode de représentation n'a rien d'essentiel, puisqu'il a été possible, 

 sans y recourir, d'exprimer les mêmes idées que Cauchy, dans un langage 

 analogue. 



» On verra en effet que la théorie de Cauchy pouvait être étendue aux 

 intégrales doubles. 



» On disposera donc dorénavant de trois méthodes pour traiter la ques- 

 tion des intégrales doubles, et, quand même ce serait celle de Cauchy qui 

 obtiendrait la préférence, je serai heureux d'avoir aidé ses partisans à en 

 développer l'usage, si une théorie de premièreimportance cesse d'être laissée 

 à l'écart. 



Première partie. — Définition et évaluation d'une intégrale double 

 prise entre limites imaginaires. 



« Une des difficultés de la théorie des intégrales doubles, telles que 



Izdx dy\ 



où z est une fonction de deux variables imaginaires x et y, est de définir la 

 suite double des éléments dont elle se compose. Si z est défini par une 



équation 



f{x,x,z) = o, 



et que l'on représente x par a-hf-isj—i, J par a' ■+- /3' \/— i et z par 

 «" + [j" \J~i, l'équation/ = o donnera bien deux relations entre les six 



