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MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



ANALYSE. — Théorie élémen taire des intégrales doubles et de leurs périodes (suite). 

 Mémoire de M. Max. Makie. (Extrait par l'Auteur.) 



(Commissaires précédemment nommés: MM. Hertrand, Bonnet, Puiseux.) 



« Théorème de l' indépendance de la valeur de l'intégrale double et des valeurs 

 intermédiaires des variables, les limites leslant les mêmes. — Si s = Y[x,j) est 

 l'équation d'une surface réelle que l'on veuille cuber, et qu'on ait eu lieu 

 de considérer les coordonnées x et y comme composées chacune de deux 

 parties, a et j3 pour x, a! et 'p' pour y, l'élément 



ztlidy, ou z[(h. + r/p)(r/a' + d'{j) 



du volume cherché, correspondant à l'élément de surface dx dy, ou 



[doi + d[-j){dc/.' -h <Vj3'), pourra être évalué de cinq manières différeules : il 

 sera indifféremment exprimé par 



par 



par 



par 



F(.T, y]{dry. + r/f3)(r/«' + 4'), 



F (a.', j)dadrj.' -[-V[x -\- du, j)doé d[l, 



+ F [x, j + drj! ) dv. d[i' -f- F (.r + da, y 4- dc/.')df-i dfi', 



F{x,)-)df-i d^' + F [x + dfi, j)da dfi' 



+ V[x, f -i- d^') du' dpj + F(x + r/jS, r + d[i')dv.dr/, 



V{x,j)dad(i' + Y{x + dc/.)d^ r//B' 



4- F(.r, j + d^j')da du + F(.r + dy.,j + d{-'j')d[-'j du', 



ou enfin par 



¥{x,j)d(idu' -i- V[x -t- d{i, j)duda' 



+ F(x, j + du')d^dfi' -t- F(.r + dfi, y + du')dad[i\ 



11 en est exactement de même si, x et j' étant imaginaires, on a dû consi- 

 dérer à part leurs parties réelles et imaginaires u cl fi \ — i pour x, 

 a et fit' ^—i pour j-. 



