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 » Le fait tient simplement à ce que les facteurs finis 



¥{x + th.,r), F(.r-+-r/fis^,j), F(.r, ?■ + ^a'), F(x, j + f/|S' V^^), 

 F {x -h da, y 4- (h.'), F {x + de/., j + d^J V*— T), 



ne diffèrent de F(x,^) que par des infiniment petits, dont les produits par 

 les deux facteurs différentiels qui entrent dans le même terme sont négli- 

 geables, comme étant du troisième ordre. 



» Mais il ne résulte rien de l'identité des cinq formes de l'élément 

 z[d(/. ■+■ d[j)[d(/.' + dp'), tandis que l'égalité des cinq valeurs de l'élément 



z{dry. 4- d^j s/~) {dcc' + d^j' ^l~) 



montre que l'on peut intervertir l'ordre des variations des parties réelles et 

 imaginaires de j:' et de j^, c'est-à-dire changer infiniment peu, et ensuite 

 d'une manière finie, la suite double des systèmes de valeurs attribuées à x 

 et »j, sans que l'intégrale 1 change. 



» En effet, en reportant d'abord chaque rfa et chaque de/.' , par exemple, 

 sur le dx et le dy précédents, puis encore chaque nouveau du. et chaque 

 nouveau d(/.' sur le nouveau c^j:' et le nouveau dy précédents, etc., on chan- 

 gera les lois de progression de x et de j; et pourvu que les limites restent 

 les mêmes, l'intégrale I ne variera pas. 



» Toutefois, la démonstration suppose que, dans le cours de la défor- 

 mation du système de valeurs prises par x el j, il ne puisse pas arriver 



que ^ et — deviennent infinis ou multiples, sans quoi, ou bien les dif- 

 férences entre F (x, y) ctF(.r + d<x,j'), F (jr -|- d^sj —i^j),... cesseraient 

 d'être infiniment petites, ou bien z, partant de valeurs multiples, pourrait 

 ensuite prendre des valeurs différentes, lorsque x et y continueraient à 

 varier. 



» Si (loncJ[x,y, z) =: o est l'équation qui définit r, ce n'est qu'autant 

 que, dans leur déformation continue, les systèmes de valeurs intermé- 

 diaires de jc et de / ne satisferont à aucun moment, en tout ou en partie, à 

 la condition 



,7i = °' 



qu'on pourra affirmer, sans examen, que l'intégrale sera restée la même. 

 » On retrouve ainsi, sous la même forme que lui avait donnée Cauchy, 



