( 66î ) 

 correspondent les périodes imaginaires sont ceux qui se composent de deux 

 systèmes de valeurs conjuguées deux à deux des trois variables, se rejoi- 

 gnant par une suite fermée de valeurs réelles correspondant à une courbe 

 fermée tracée sur la surface réelle. 



» Mais on pourra substituer à un pareil ensemble tout autre composé de 

 valeurs de x^j, z suffisamment voisines des précédentes, pourvu que ce 

 nouvel ensemble comprenne toujours deux parties se rejoignant par une 

 suite de valeurs réelles des variables. 



» On sait d'avance d'ailleurs que deux pareils ensembles, suffisamment 

 voisins, fourniront identiquement la même valeur pour l'intégrale. 



» Tout se réduit à établir que l'intégrale correspondant au parcours 

 supposé ne sera pas nulle et à en obtenir la valeur. 



» Or si l'on prend pour limite la suite de valeurs réelles par laquelle se 

 rejoignent les deux parties de l'ensemble des solutions imaginaires conju- 

 guées que l'on considère, et que l'on applique à ces deux parties la formule 

 fondamentale, on aura, pour valeurs de l'intégrale 



r = -lir + .y,-(^-,v,)v^; 



l'intégrale I relative à tout l'ensemble sera donc 



T = F - r = (V - V :v~ - /iV, v'^; 



la première partie du second membre est le produit par y — i du volume en- 

 veloppé par la surface fermée dont les coordonnées seraient jr = a ± |3, 

 j = u' ±z ^', z=: a"±: j3". Quanta la seconde, elle disparaîtra si l'on suppose 

 que, au lieu de grouper ensemble des systèmes quelconques de valeurs ima- 

 ginaires conjuguées deux à deux de x, de j" et de z, on ait formé l'ensemble 

 considéré des solutions communes à l'équation proposée et à celles 



X = cz -}- ri, 

 j = c'z -f- d' 



d'une droite qui se déplacerait parallèlement à elle-même, dans l'intérieur 

 d'un cylindre circonscrit à la surface proposée, parce que, dans ce cas, /3, 

 |3' et |3" restant toujours proportionnels à c, c' et i, la surface dont les coor- 

 données seraient j3, p' et /3" aura tous ses poitits sur une seule droite, de 

 sorte que son volume sera nul. 



C. R., 1875, 2« Semestre. (T. LXXV, N» 12.) ^" 



