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 » Si l'on prend pour exemple l'équation 



xy -V- jrz -h zx = — I , 



et que l'on opère comme il vient d'être dit, on trouve pour la surface à 

 cuber 



[C -h C'Yz^ -\- (C -h ïYj' -h (c' 4- l)'-X^ + 2XJ- -+- 2C^JZ -+■ ZC'^XZ 

 = 2 {ce' -h C -h c'), 



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 dont le volume, quand c'est un ellipsoïde, est ^tt, de sorte que la période 



de 



fP 



y 



8 



est X 7r V — I , ce à quoi l'on serait arrivé plus aisément à l'aide du théorème 



de l'équivalence des volumes des conjuguées, que j'ai établi autrefois, et 

 ce que nous retrouverons encore plus simplement parla théorie des résidus. 



» Le cas où l'équation proposée aurait ses coefficients imaginaires se 

 ramène à l'autre, comme dans la théorie des intégrales simples. 



» Il est clair d'abord que si les coefficients de l'équation que l'on traite, 

 précédemment réels, viennent à prendre des accroissements imaginaires, 

 d'abord infiniment petits, les suites de valeurs de x, j, z, qui resteront 

 suffisamment voisines de celles auxquelles correspondaient les périodes 

 réelles ou imaginaires de l'intégrale, fourniront encore des périodes de 

 cette intégrale dans le nouvel état des données; seulement les périodes 

 réelles auront acquis des parties imaginaires très-petites, et les périodes 

 imaginaires des parties réelles aussi très-petites. D'un autre côté, la suite 



des solutions pour lesquelles — et j- seront restés réels différera infini- 

 ment peu de celle des solutions réelles de l'ancienne équation. Enfin la 

 suite des solutions imaginaires fournies par la combinaison de l'équation 

 proposée avec les équations d'une droite de direction constante sera dans 

 une de ses parties, celle pour laquelle |3, |3' et |3" atteindront des valeurs 

 finies quelconques, infiniment voisine de la suite des solutions imaginaires 

 fournies précédemment par la combinaison des mêmes équations et à 

 laquelle correspondait une période imaginaire de l'intégrale. 



» La règle à suivre pour trouver les périodes de la nou^elle intégiale 

 sera donc de prendre d'abord les valeurs de l'intégrale correspondant aux 



suites fermées de solutions pour lesquelles -y ^^ -r seraient réels, ce qui 



