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 donnera les analogues des périodes réelles; de prendre ensuite les valeurs 

 de l'intégrale correspondant aux suites fermées de solutions communes 

 à l'équation proposée et à celles d'une droite de direction constante qui se 

 déplacerait entre les positions où elle couperait le lieu en des points 

 doubles, ce qui donnera les analogues des périodes imaginaires de l'inté- 

 grale primitive. 



» Considérons, par exemple, l'équation 



x'-hf^ + z' = {'• + rV^)'; 

 pour que j- ^^ -j- soient réels, il faudra que 



2 — ^ — î! 



d'ailleurs on aura les deux conditions 



Si l'on élimine |3, ^' et /3" entre ces équations, on obtient 





d'où il résulte 



^2 + /3'^ + p"^ = r'- ; 



on en conclut aisément 



(a ■+- fi)= + («' -f- f5')' + (a" + P")' = (r + r'y- 

 et 



(a _ ^)= + («' _ p'):= + (a" _ /3")= = (;^ _ ,.')^ ; 



les surfaces enveloppant les valeurs V, Y', V, et V', qui composeront l'in- 

 tégrale cherchée sont donc les quatre sphères ayant pour rayons 



r + r', r — r', r et r' ; 



l'intégrale étendue à tout le système de solutions pour lesquelles ;j- et — 

 sont réels est donc 



r-]-r'Y-h (r— /■')' 



jTTpr"- 



_^(,:tiT^^^_,,.]^-j, 



ou 



3 



86. 



