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quand on ne donne a x el k j que des valeurs réelles; savif à éviter, par 

 de petits circuits, le contour apparent— 4- 7-, = i , afin de suivre de point 



en point la méthode qui avait réussi pour les intégrales simples. 



» Le contour apparent, par rapport au plan des .r|% de la surface dont 

 l'ordonnée z serait la fonction explicite ou implicite placée sous le signe 2, 

 jouera en effet exactement le même rôle, dans la théorie des intégrales 

 doubles, que les points critiques dans la théorie des intégrales simples. 



» Toutefois, la question est plus compliquée pour les intégrales doubles 

 que pour les intégrales simples, parce qu'une fonction d'une seule 

 variable ne présente qu'un nombre limité de points critiques, tandis que 

 l'équation du contour apparent d'une surface fournit une infinité de suites 

 de solutions réelles ou imaginaires. Mais celte difficulté est peu considé- 

 rable. 



» La théorie de Caucby, relative aux intégrales sinq^ies, repase essentiel- 

 lement sur deux observations distinctes, rattachées ensuite l'une à l'autre 

 par l'emploi d'un artifice commun. La première, qui constitue l'ingénieuse 

 et efficiente théorie des résidus, consiste en ce que l'intégrale Zjdx peut 

 acquérir une valeur même infinie sans que ce ait varié qu'infiniment peu 

 aux environs d'une de ses valeurs à laquelle corresponde une valeur infinie 

 dej-; Il seconde en ce que, poiu- que l'intégrale correspondant à un par- 

 cours fermé par rapport à jt, o(a, |3) = o ne soit pas nulle, il faut que y 

 ne repasse pas en sens contraire par les mêmes valeurs, lorsque la variable 

 indépendante «, après avoir varié de sa limite inférieure «„ ^ sa limite supé- 

 rieure a,, reviendra ensuite de sa limite supérieure à sa limite inférieure: 

 c'est-à-dire qu'il se soit opéré dans l'intervalle une permutation entre les 

 valeurs dont est capable j'. La théorie des intégrales doubles se composera 

 de ûewx parties analogues. Nous commencerons par la théorie des résidus, 

 afin de conserver l'ordre dans lequel les faits se sont présentés à Cauchy, 

 quoique le résidu d'une intégrale constitue la forme la plus exceptionnelle 

 de l'une de ses périodes, exclusivement due au choix particulier des axes 

 auxquels se trouve rapporté le lieu correspondant, dont ne dépendent 

 aucunement les périodes de l'intégrale qui en donne la cubature. 



Thcoric des lésidits des intégrales doubles. 



» Nous rencontrerons naturellement ici deux sortes de résidus, les uns 

 relatifs à des points, les autres relatifs à des lignes. Les premiers seront des 

 valeurs finies qu'acquerrait l'intégrale, sans que x ai y aient pris que des 



