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» On peut trouver dans un de ces systèmes : 



» 1° Un nombre v de courbes composées d'une conique et d'unedroite 

 double qui n'est pas tangente à la conique, et douées de sommets doubles 

 aux deux points d'intersection et de six sommets simples placés sur la 

 droite double; 



)) a° X courbes composées d'une conique et d'une droite double qui est 

 tangente à laconique, et douées d'un sommet triple au point de contact 

 et de sept sommets simples placés sur la droite double ; 



3° Ç courbes coiuposées de deux droites simples et d'une droite double 

 passant par leur point d'intersection; celui-ci sera un sommet quadruple, 

 et les courbes auront encore huit sommets simplts placés sur la droite 

 double; 



» 4" ^ coniques doubles douées de huit sommets; 



» 5° Ç courbes composées de deux droites doubles, et douées d'un som- 

 met triple au point d'intersection, de six sommets simples placés sur Tune 

 des deux droites et de trois placés sur l'autre; 



» 6° p courbes composées d'une droite simple et d'une droite triple, et 

 douées d'un sommet double au point d'intersection, et de dix sommets 

 simples placés sur la droite triple; 



» ■y" 5 droites quadruples douées de douze sommets. 



» Dans la détermination du nombre p. on tait usage des propositions 

 suivantes : 



» Il existe iSSa courbes à branche triple dont les deux droites compo- 

 santes et neuf des sommets simples ont des iiositions données. 



» Il existe 8280 courbes à branche triple dont la droite triple, les dix 

 sonmiets simples et un point de la droite simple ont des positions données. 



>) Il existe 9400 courbes à branche simple dont les deux droites compo- 

 santes passent par deux points donnés et dont tous les sommets se trouvent 

 sur des droites données. Le lieu donné du sommet double peut être, en 

 particulier, la droite simple. Si l'on substitue à la dioite, lieu du sommet 

 double, ou à une des droites, lieux des sommets simples, la condition que le 

 point fixe de la droite triple doit être sommet double ou simple, le nombre 

 indiqué sera remplacé par 9400 — 8280=: 6 120, ou par 9400 — i552 ^ ■7848- 



» De même, pour trouver le nombre 5, on fait usage des propositions 

 suivantes : 



» Il existe 45i44o droites quadruples qui ont une position donnée et 

 dont onze sommets sont donnés. 



» Il existe 2 708 i)l\o (= (3 . 45 1 44») droites quadruples qui passent par 



