( 7o5 ) 

 un point donné, et dont les sommets se trouvent sur des droites données. 

 Si l'on substitue à une de ces droites la condition que le point donné doit 

 être iMi sonunet, ce nombre sera remplacé par 2708640 — 4^1 44o 

 = 2 aS^ 200. 



» Dans les nombres qu'indiquent ces propositions ne sont pas compris 

 les facteurs dus à la règle suivante, qu'il faut observer à la détermination 

 de tous les nombres théoriques de courbes exceptionnelles : 



» Chacun des nombres v, 1, ^, vj, ^, p, comprend n*. in^ fois une 

 courbe singulière si a points (ou droites) donnés se troisvent sur (ou sont 

 tangents à) des branches «-tuples, et |3 droites données passent par des 

 sommets /«-tuples. 



)) La formule suivante servira à trouver la seconde caractéristique p.' 

 (i lui système dont on connaît la preuîière caractéristique p. 



(1) |u,'=6p. — 4v — 3). — 4ç — 2VÎ — 3Ç — 6(5 — 125. 



» La caractéristique y. du système déterminé par i3 points étant égale 

 à I, un usage successif de cette formule donnera toutes les caractéristiques 

 des systèmes dont nous nous occupons ici. On aura, en désignant pnr 

 N(a/J, /5/), où a + /3 ^ i4, le nombre de quartiques qui passent par 

 a points et sont tangentes à /3 droites : 



Pour a >• 7, a^7, 6, 5, 4> 3 , 



N(«/;, (3/) = 6'^, 279600, 1668096, 9840040, 56481396, 308389896, 

 Pour a = 2 , 1 , o 



IN(a/J, p/) = I 53o34^ 5o4, 6533946576, 23oi! 191144- 



» On trouve les nombres i552, 3280,..., indiqués dans les propositions 

 qui sont exposées ci-dessus, en appliquant aux différents systèmes, à côté 

 de la formule (i), une autre formule qui résulte, comme i, d'applications 

 du principe de eorrespondance : 



(2) 27;/ = n -h 4ov -4- 3y), + 46H + 1^0 -^ 24Ç + 45(5 + 726, 



où 7r est le nombre de courbes du système qui ont un point double (soni- 

 met double). La coexistence des deux formules a servi aussi à déterminer 

 ou à vérifier ceux d'entre leurs coefficients dont la détermination théo- 

 rique était trop difficile, et à vérifier les calculs. 



» Pour faire application de la formule (2), il a été nécessaire de trouver 

 antérieurement les valeurs du nombre tt pour les différents systèmes. Celte 



