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 recherche a demandé une étude successive des systèmes élémentaires : 

 i" de quartiqiies douées de deux points cuspidaux et d'un point double; 

 2.°-[\° de quartiques douées d'un point triple à branches coïncidentes ou 

 distinctes; 5'^ de quartiques douées de trois points doubles; 6° de quar- 

 tiques douées d'un point de contact de deux branches; 7° de quartiques 

 douées de deux points doubles, et 8° de quartiques douées d'un seul point 

 double. 



7> Cette étude longue et pénible ne donne pas seulement les caractéris- 

 tiques de ces systèmes et le moyen de trouver aussi celles de lom les autres 

 systèmes élémentaires de quartiques ; mais elle montre aussi quelles sont leurs 

 courbes exceptionnelles, et comment les singularités plus compliquées ré- 

 sultent de la coïncidence de singularités plus simples. Les résultats des re- 

 cherches sur les caractéristiques des quartiques seront aussi utiles pour 

 l'élude de la relation qui existe entre les douze tangentes qu'on peut mener 

 d'un point à une quartique. 



» Je terminerai cette Note en indiquant les formes des équations de 

 quelques-unes des courbes exceptionnelles d'un système de quartiques 

 sans points singuliers. L'équation 



?2-j'+- 2<p3.j + 0, = o, 



où 'io, '^3 et o, sont des fonctions de x et ^ des degrés 2, 3, 4) et où les 

 coefficients de '^3 et (p^ sont infiniment petits des ordres i et 2 respective- 

 ment, représente une des courbes singulières dont nous avons désigné le 

 nombre par v. Les sommets simples seront déterminés par le discriminant 

 (pi — ip,?* = o. Si yo est un carré, disons O2 = ^^'j on aura une des courbes 'Ç. 

 Alors les trois sommets de la droite x = o sont déterminés par 1553 = o. 

 >) Do même, les équations 



'^'i' + '^^y- -+- t^j + 1* = *^' 



; ' + /, r' + X2 j' + X3 j + z. == o. 



«2 + «> = o, 



O" 1-2, Xi '' '^^i' i» '"' X^ ; 'j'i '■' Xaî X* *o"' infiniment petits des ordres res- 

 pectifs 1; j.; 3; /| , représenteront des courbes exceptionnelles apparte- 

 nant aux nombres p, et /?. A déterminer les sommets servent, dans les 

 deux premiers cas, les discriminants des équations, dans le troisième l'équa- 

 tion Wj := O. 



» Je ne connais pas les formes des équations qui représentent les courbes 

 exceptionnelles ). et H. » 



