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 à la question algébrique) évitent ces calculs et conduisent à une expres- 

 sion fort simple du nombre cherché. 



» Il suffit de démontrer d'abord ce théorème fondamental de la Géo- 

 métrie analytique, que le noiubre des points, réels ou imaginaires, communs 

 à deux courbes géométriques quelconques d'ordi e/j et yj', est toujours ^/j'. 

 C'est à la démonstration immédiate de ce théorème, qui a offert pendant 

 longtemps des difficultés (*), que se prête le principe de correspondance 

 (de deux manières); et même la simple définition des courbes géométriques 

 d'être rencontrées toujours en un même nombre de points, réels ou ima- 

 ginaires, par une droite quelconque, suffit, sans qu'on ait à se servir des 

 équations des courbes. 



» Théorème 1. — Deux courbes d' ordre p et p' ont toujours pp' points 

 communs, réels ou imaginaires. 



» Prenons deux points fixes quelconques, 1 et O. Une droite IX ren- 

 contre la première courbe en p points oc; les droites menées de ces points 

 au point O rencontrent la deuxième courbe en pp' ])oints a'; par ceux-ci 

 on mène pp' droites lU. Ces pp droites correspondent à IX. De même, à 

 une droite lU, qui rencontre la deuxième courbe en //points, correspondent 

 p p droites IX. Il existe donc 2pp' droites IX qui coïncident chacune avec 

 une droite correspondante lU. pp' de ces droites sont coïncidentes avec la 

 droite 10, et n'appartiennent pas àdes points communs aux deux courbes; 

 mais chacune des pp' autres droites passe par un point a de la première 

 courbe coïncidant nécessairement avec un des points a' de la deuxième 

 coiu'be situés siu' la droite aO. Le théorème est donc démontré. 



» Les points multiples ou les points de contact que peuvent avoir les 

 deux courbes ne modifient en rien la démonstration; de sorte que le ré- 

 sultat pp' est général. 



» Observation. — Si les deux courbes avaient un point commun sur la 

 droite 10, ce point servirait, comme les autres, à former le nombre p/j' des 

 solutions étrangères; mais, néanmoins, il compterait aussi dans le nombre 



(*) Il La vérité de cette proposition, disait Eiiler, est reconnue de tous les géomètres, 

 » quoiqu'on doive avouer qu'on n'en trouve nulle part une démonstration assez rigou- 

 reuse. » (Voir Mémoires de t'Jcddéinie de Beiliri, de 1748; Démonstration sur le nombre 

 des points où deux lignes des ordres ijuelconqiies pcm'ent se couper, p. aSj-a^B). Cramer dit 

 bienlôt après : « La règle qui délermine ce nombre est très- importante dans la îliéorie des 

 » courbes; plusieurs grands géomèlrcs l'ont supposée, mais personne, que je sache, n'eu a 

 » donné la déraonsti'ation. » [Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques ; Ge- 

 nève, lySo, p. xm. ) 



