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 (les points (l'intersection des (Unix courbes; car une (Iroite IX, infiniment 

 voisine de lO, donnerait lieu alors à une droite correspondante lU, infini- 

 ment peu différente de IX, et conséqiiemment faisant, à la limite, luie coïn- 

 cidence. Mais, du reste, on peut prendre les deux points I, O sur une 

 droite qui ne passe pas par un point commun aux deux courbes : ce qui 

 justifie notre raisonnement. 



» Théorème II. — Lorsque deux courbes d^ ordre p et p' sont représentées 

 par les deux équations 



( a"» , j" IP = o , ( X'"', r"' y = o 



de degrés p et p', dans lesquelles les puissances supérieures de x et y sont m, n 

 et m', n', le nombre de leurs points d'intersection, situés à distance finie, est 



pp' — [p — ni) [p' — ?n') — {p — n) {p' — n') — w, 



w étant le nombre des points d'intersection des deux courbes qui peuvent se 

 trouver à l'infini, autres que ceux qui s'y trouvent sur les axes coordonnés, en 

 nombre (p — m) (p' — m') -f- (p — n ) (p' — n'). 



» Démonstration. — Le nombre total des points d'intersection des deux 

 courbes élunt pp' (théorème I), il suffit d'en retrancher leurs points com- 

 muns situés k l'infini. Au nombre de ces points s'en trouvent évidemment 

 tp — fi) i^p' _ 7i') sur l'axe Ox, et [p — m) [p' — m') sur l'axe Oj. Donc, si 

 les deux courbes ont à l'infini oj autres points, le nombre de leurs poinis 

 à distance finie se réduit à 



pp' — [p — m) {p' — m') — { p — n) ( p' — n') — (j) (*). 



C. Q. F. D. 



}> La question se réduit donc à déterminer le nombre w des points com- 

 muns aux deux courbes, qui peuvent se trouver sur la droite de l'infini, 

 autres que ceux qui sont représentés par [{p — '«)(/?' — m')+(p — n){p'—n')]. 

 Or cela se fait sans difficulté. L'équation de chaque courbe fait connaître, 



(*) L'expression incomplète pp' — (p — m) [p' — m') — [p — n) [p' — n') a été don- 

 née par Bezout dans sa Théorie générale des équations algébriques, 1769. Il dit que, si 

 p = m et pj' := m' , elle devient pp' — [p — n) [p' — n' ), et que c'est là le cas oîi se réduit 

 tout ce qu'on a su jusqu'alors [voiryt. 45). Néanmoins on cite constamment le terme y>/>' 

 comme constituant le théorème de Bezout, c'est-à-dire la limite du degré de l'équation 

 finale résultant de l'élimination d'une inconnue, qu'il aurait donnée, quand, en réalité, il 

 a donné une limite très-inférieuie, que l'on devrait citer, d'autant |)lus qu'il ne s'est p;,s 

 borné au cas de deux équations à deux inconnues, et qu'il a traité la question dans sa gé- 

 néralité, ce qui constitue le grand mérite de l'Ouvrage de Bezout. 



