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 par «ne équation en — qu'on pose immédiatement, le nombre et la direc- 

 tion des points de la courbe qui se trouvent à l'infini, ainsi que les tan- 

 gentes en ces points. Ces deux cboses, les points et leurs tangentes, sont 

 les éléments principaux de la question. 



» Deux points des deux courbes situés dans une même direction 



(déterminée par une même valeur de — j sont deux points coïncidents, 



puisqu'ils sont à l'infini sur deux droites parallèles : ils comptent donc 

 pour I dans le nombre u. Mais si les courbes ont en ce point la même tan- 

 gente, elles ont deux points communs; le point compte donc pour 2. Si 

 l'une des courbes a un point double, il compte aussi pour 2, et de même 

 pour les points multiples d'ordres élevés. Si les deux courbes ont une tan- 

 gente commune en leurs points multiples coïncidents, cette tangente ajoute 

 une unité au produit des ordres de multiplicité. 



» Il peut entrer aussi dans le nombre « des points situés sur les axes 

 coordonnés Ox, 0>', soit que les courbes aient un contact commun sur 

 un de ces axes en son point de l'infini, lequel pourra être un contact avec 

 la droite de l'infini elle-même, au même point. 



» Sans chercher à énumérer les différents cas que peuvent présenter les 

 conditions de contact des deux courbes, je vais donner quelques exemples 

 variés dans lesquels se trouvera toujours une vérification du résultat. 



)) Yoici l'indication du sujet de chacun de ces exemples : 



» I. Les deux courbes ont un point d'intersection sur la droite de l'in- 

 fini w = I . 



» II. Les deux courbes ont deux points communs à l'infini, dont un est 

 un point d'intersection et l'autre un point de contact : w=i-|-2 = 3. 



!) II bis. Les deux courbes ont deux points de contact à l'infini : u = l\. 



M III. Les deux courbes ont un point de contact à l'infini, et leur tan- 

 gente commune est la droite de l'infini : w = 2. 



» IV. Les deux courbes ont un point de contact avec la droite de l'ni- 

 fini sur l'axe Ox : w ^ i . 



)) IV bis. Les deux courbes ont trois points de contact à l'infini, dont 

 deux sont sur les axes Oa', 0/ : w = 2 4-i + i = 4- 



» V. La première courbe a un point d'inflexion à l'infini; la seconde 

 courbe lui est tangente en ce point : oj = 2. 



)' VI. La première courbe a un point double à l'infini; la seconde 

 courbe passe par ce point : « = 2. 



» VIL La première courbe a un point double à l'infini; la seconde 



