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équalions 



y^ :^ X -h i, y = X -h -^ 



X 



La courbe est tangente à l'axe Oj-, à l'infini. 



)) La deuxième courbe est aussi tangente à cet axe en ce point, et a un 

 point double coïncidant avec le point triple de la première; en outre, ses 

 deux branches sont tangentes à deux branches de celle-ci : ce qui fait huit 

 points communs aux deux courbes, et uu neuvième au point de contact 

 sur l'axe Oj; ainsi «j = 9 et N — o) = 2. Les courbes n'ont donc que 

 deux points communs à distance finie. Ces deux points coïncident à l'ori- 

 gine des coordonnées où les deux courbes sont tangentes à l'axe Ox. 



» X. [x, i)r'+{x, h)f-\-[x, 5)jr + {x, 2)j>-'+ [x, 5) = o. 



[x, %)r'--^[x, ())j'-+-(a:, G)j'-\-{x, 4)j'+ [^^^ 3)j- 4- [x, 4) = o. 



[x, a) désigne un polynôme quelconque en x du degré a. (*). On ne peut 

 déterminer que N. On a N = 6 . 1 3 — i . 4 — 2 . 8 = 78 — 20 = 58, quels 

 que soient les polynômes; ce qui s'accorde avec la formule de M. Minding, 



qui donne 4.8h--^ + ^ + 5 + 5 + 5=4.8 + ii + i5 = 58. 



» La première courbe a trois points à l'infini, autres que les trois qui 

 s'y trouvent aux extrémités des axes coordonnés; et la seconde courbe 

 n'en a qu'un, lequel se trouve infiniment voisin de l'axe des .r, dû à ce 

 que la courbe est tangente en ce point à la droite de l'infini. De sorte que 

 les deux courbes n'auront pas de points communs s'exprimant par 

 X ^= zo , j-=oo, quels que soient les polynômes multiplicateurs des 

 puissances de j. Mais elles pourront en avoir aux extrémités des axes 

 coordonnés, s'exprimant par ^ = o, 0^ = 00, ou bien x = o, jj' = co , 

 selon ce que seront les polynômes. 



» XL bx- y^ -+■ aj'' -\- gx'^j -^ exy- -\- Ix-^ -\- cj- -[-kx- -\- h = o. 



êx^j- -\-ixx''-i- àx-y- -\- -jy -\-\ = o. 



M N = 42 — 16= 26. La première courbe n'a qu'un pouità l'infini, autre 

 que les cinq qui s'y trouvent aux extrémités des deux axes coordonnés, 

 et la seconde courbe n'en a aucun; en outre, les deux courbes n'ont pas 

 de contact sur les axes Ox, Oj. Donc (,} = o, et les deux courbes ont 



(*) Exemple donné par M. Minding dans son Mémoire sur le degré de l'équation finale 

 qui résulte de l'élimination (Journal de Crelle, t. XXII, i84i, P- 178, reproduit dans le 

 Journalde Mathématiques de M. Lioiiville, t. VI, i84i, p. 4'2-4'8)- 



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