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 parallèle aux s de l'hyperbole mobile serait, dans le premier cas, le produit 



par \J — 1 du volume du tore dont l'éqiiateur se composerait des cercles 

 de rayons h — a, h -h a, et ne serait guère plus difficile à obtenir dans les 

 autres cas. 



» Mais rénumération de cet ensemble de faits ne suffirait plus, comme 

 dans le cas précédent, à constituer une théorie. Ou aurait en effet laissé 

 de côté les difficultés les plus considérables que comporte la question, dif- 

 ficultés du reste entièrement nouvelles, en ce sens que la théorie des rési- 

 dus des intégrales simples ne les comportait pas. 



» Soit F[jc,j-, z) = o l'équation proposée, supposée telle qu'elle attribue 

 une valeur infinie à z, pour chaque système de valeurs de x et de^, satis- 

 faisant à une équation f{jc^j) := o; et soient j:*,, j', une solution de cette 

 dernière équation. Si Ton remplace dans F (x, jr, z) = o, x par x +a,, 

 jj' par j- -h j-,, et que, x et j devant alors rester infiniment petits, on 

 supprime les termes négligeables, l'équation F [x, y, z) = o donnera 



M 



z = ^, 



ajT -i- by 



la section faite par le phin y = mx, projetée sur le plan des xz étant 



M 



la période de la quadratrice de cette projection sera 



[a -(- h m 



•in j— V — 1 ; mais la période de la quadratrice de la section, dans son 



1 ir ■ m l I -f- /« /-11? 



plan, sera eiiectivenient 27: — ^ — ; — \ — i • Cela étant, nnaginons que nous 



transportions le plan sécant parallèlement à lui-même en tous les points de 

 division de la courbey^(a:, 7) = o, en éléments infinitésimaux ds : rn res- 

 tera constant, mais M, ael b varieront. L'élément du résidu relatif à la 

 courbey^(a', j) = o, pour des sections parallèles à 7' = mx, sera le pro- 



j . 1 M J 1 -t- m- : 11- 11 1 ii'i . 



unit de 271 7 — v' — i par la distance cies deux plans parallèles a j = mx 



passant par les extrémités de l'élément ds, ou par ds cos^, ç désignant 

 l'angle du plan j- = mx avec la normale à l'élément ds. Cet élément du 

 résidu sera donc 



Mil + m- , ,' 



271 — - — -, — ds cosœ V — 1 1 



et le résidu lui-même seia 



' ] a -\- ont 



