( 754 ) 

 Cette intégrale prise le long àe:f[x,j) = o, si cette courbe est fermée, oti 

 entre des limites où M s'annulerait, sera une des périodes de ÇJzdxdj. 

 » Cette période paraîtrait dépendre de m, ce qui ne doit pas être; on en 



conclut que — ^ — - — cosip doit être uidependant, en chaque pouit de 



/ (jT, j) = o, de la direction du jilan ;■ = inoc, ou que la période de la qua- 

 dratrice de la section, en chaque point de f[x, y) = o, doit être inversement 

 proportionnelle au cosinus de l'angle du plan sécant avec l'élément cls. Celle 

 proposition n'aurait pas besoin d'autre démonstration, mais on peut l'éta- 

 blir direclement d'une façon très-simple : l'équation de la tangente à la 

 courbe/ (a , j) = o, au point (x,,j, ) où l'on a transporté l'origine, étant 

 ax-hbj^o, le sinus de l'angle de cette tangente avec la direclion 



bm -\- a ]^j , _|_ ,„2 M 



y — mx est , , de sorte que —^ — -, — cosç = , <-'' n"*^ 



l'élément du résidu se réduit, quel que soitwi, à i ce qu'aurait donné 



le théorème de Guldin, si, au lieu de sections parallèles, on avait considéré 

 des sections normales. 



» ds pouvant s'exprimer par-r- \/a' + b'^, on pourra prendre pour ex- 

 pression du résidu 



Si l'on veut appliquer cette théorie à l'exemple z = '^\ on aura pour 



•''expression du résidu indéfini 



27: \/~i f [~ i + x-^)dx, 



et il faudra prendre l'intégrale entre les limites x, — — i et x, = -h i , 

 parce que c'est à ces limites que la période de la quadratrice de la section 

 s'annule et que, par conséquent, le résidu se ferme. On trouvera ainsi 



^ n y/— 1 , comme cela avait été annoncé précédemment, 



» On voit par cette théorie pourquoi lui point simple de/ {x,)-) = o 

 ne saurait être le centre d'un résidu ; car deux plans également inclinés sur 

 la tangente à la courbe en ce point coupeiaient la surface suivant deux 

 courbes dont les quadratrices auraient leurs périodes égales et de signes con- 

 traires, de sorte que le volume total engendré serait nul. Du reste, la 

 période de la quadratrice de la section faite suivant la tangente serait 

 infinie. 



