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» Les passages de la fonction par des valeurs multiples finies n'ayant 

 d'autre effet que de disposer cette fonction à prendre ultérieurement d'au- 

 tres valeurs que celles par lesquelles elle avait déjà passé, il était absolu- 

 ment indifférent défaire prendre ces valeurs à la fonction, de manière à 

 brusquer la conversion, ou de les contourner, pour produire successive- 

 ment l'échange des valeurs de a' et de P' entre elles, échange qu'il fallait 

 bien effectuer, de façon ou d'autre, pour que l'intégrale Ij dx, relative au 

 chemin f{a, |3) = o, ne fût pas nulle. 



» Je devrais donc, peut-être, ne pas m'astreindreà suivre cette méthode; 

 mais il s'agit ici de remplir un programme tracé à l'avance, et je m'y con- 

 formerai de point en point. 



» Un système de solutions de l'équationy (x, /, z) = o, auquel corres- 

 ponde une valeur de Izdxdj^ est caractérisé par deux équations 



(p{a,^,a\^') = o, 9,(a,/3,a',/3') = o, 



et par une condition aux limites X(a, P) = o. 



» Moyennant les deux conditions cp = o et cp, ^ o, chacune des six 

 variables a, p, a', (5', a", P" devient une fonction déterminée de deux quel- 

 conques des autres, de sorte que les huit intégrales doubles 



la."dcida', la"dxd^, lu"d^da', lu"d^jd^\ 

 l^"dada.', l^"dad^, l^"d^da.', l^"d^d^', 



qui entrent dans la composition de Izdxdy, sont bien définies. 



D Si l'on suppose qu'en vertu des équations «p := o et (jj, = o les huit sur- 

 faces, dont les coordonnées seraient «, a' et a", «, |3' et or",... |3, P' et |i", se 

 trouvent toutes fermées, en forme de sphéroïdes, le système de solutions 

 considérées pourra être ait fermé. Nous ne considérerons désormais que des 

 systèmes fermés de solutions. 



» Si l'intégrale I que l'on veut obtenir se rapporte à tout le système cou- 

 sidéré, et c'est ce que nous supposerons toujours dorénavant, la condition 

 aux limites disparaîtra. Nous n'en parlerons donc plus. 



» Les équations y (x, j-, z) = o et— = o pourront être, sans inconvé- 

 nient, désignées sous le nom d'équations du contour apparent. Le système 

 de ces équations équivaut à quatre équations entre a, p, a', P', a",P"; si l'on 

 yen ajoute une cinquième, p. (a, p) = o, on aura une suite de solutions des 

 équations du coutour apparent. ,Cette suite sera dite fermée si la courbe, 

 dont l'abscisse serait a et l'ordonnée l'une quelconquedes cinq autres varia- 

 bles, est fermée. 



