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» Nous dirons qu'une suite fA est enveloppée par un système [f, ff,), si ce 

 système ne peut pas se réduire, par contraction, à une solution unique 

 sans avoir momentanément compris les solutions formant la suite fx. La suite 

 p, sera enveloppée deux, trois, etc., fois par le système (9, 9, ), si ce système 

 ne peut se réduire à rien, sans avoir contenu deux, trois, etc., fois les solu- 

 tions composant la suite p.. 



» Les équationsy^= o, 9 = o, (p, = o n'admettant jamais, par hypothèse, 

 aucune solution des équations du contour apparent, le système (y, y,), ou 

 bien n'enveloppera aucune de ces solutions, ou bien en enveloppera une 

 suite fermée; car s'il n'enveloppait qu'une portion d'une suite p., il com- 

 prendrait les extrémités de cette portion. 



» Cela posé, il résulte de ce qui a été exposé au § II de la Théorie élé- 

 mentaire des intégrales doubles que, si un système fermé (ip, (f, ) n'enveloppe 

 aucune solution des équations du contour apparent, l'intégrale correspon- 

 dante sera nulle; et que, si ce système enveloppe une suite fermée ^ de 

 solutions des équations du contour apparent, l'intégrale correspondante, 

 qui en général ne sera pas nulle, n'éprouvera aucune variation lorsque le 

 système (y, (p,) viendra à se modifier, sans toutefois cesser d'envelopper la 

 suite pL et sans en envelopper de nouvelles. Les différentes valeurs con- 

 stantes de l'intégrale, correspondant aux différents systèmes fermés de 

 solutions que l'on pourra obtenir dans ces conditions, seront des périodes 

 de l'intégrale. 



» Occupons-nous d'abord de définir les suites fermées de solutions des 

 équations du contour apparent qui seront à considérer. Si, entre les équa- 



tions y = o et — = o, on elunuie z, d restera une équation 



qui sera proprement l'équation du contour apparent; et, si l'on considère 



une solution quelconque x^a-hhsj — i, y = a! -\- b'\l — i de cette 

 équation, la valeur qu'il faudra y joindre pour z sera exclusivement la 

 racine double de l'équation 



f{a + b\l — i , a' -h b'sj— i , z) = o. 



Cette racine sera toujours supposée finie, puisque nous avons établi à part 

 la théorie en ce qui concerne les solutions infinies, par rapport à z, des 

 équations du contour apparent. 



» Pour obtenir une suite fermée de solutions des équations du contour 

 apparent, il suffira d'obtenir une suite fermée de solutions de l'équation 



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