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3IÉM0IRES PRÉSENTÉS. 



ANALYSE. — Extension de In méthode de Caucliy à i étude des inléijrales 

 doubles^ OH théorie des contours élémentaires dans l^ espace (suite et fin). 

 Mémoire de M. Max. Marie. (Extrait par l'Auteur.) 



(Commissaires précédemment nommés : MM. Bertrand, O. Bonnet, Puiseux.) 



» Il s'agit maintenant de constituer un système fermé (7,9,) envelop- 

 pant inie suite fermée p. de solutions des équations du contour apparent et 

 ne comprenant aucune solution de ces équations. 



« Soit X =^ n -\- b\J~i, j- = a' -h h' \J — 1 une solution de l'équation 

 F {jc,j) — o du contour ap|)arent, résultée de l'élimination de z entre 



J{x, j-, z) = o et — = o; cette solution satisfera à une certaine équation 



du premier degré j ■= mx -h n, que l'on formera en déterminant m et n 

 par les deux conditions 



rt' = nia ■+- h et h' = mh. 



Assujettissons les deux parties réelle et imaginaire de x = a -h j3 y'— i à sa- 

 tisfaire à la condition 



j3 étant aussi petit qu'on le voudra; déterminons ensuite y par l'équation 

 y =z mx -+- 7J, et supposons que z ait la valeur de l'une des deux racines 

 presque égales de l'équationy (a?, 7, z) = o. Si l'on en fait autant pour 

 chaque solution comprise dans la suite fx, en supposant toutefois que le 

 chemin parcourn par .r autour du point («, h) suffise pour produire la per- 

 mutation des deux valeurs de z infiniment voisines, on aura un système 

 fermé de solutions de l'équationy (a,^, z) = o, enveloppant la suite p., n'en 

 enveloppant aucune autre et ne comprenant aucune solution des équations 

 du contour apparent. 



» L'intégrale correspondant à ce système tendrait vers zéro avec p; 

 mais imaginons maintenant qu'après avoir pris pour chaque solution 



X — a + b\l—i, y = a' -+- b' \J—i 

 de la suite fi une seulement 



X — a, -h b, \J— I , j = a, 4- h\ \/— 1 



C. R., 1872, 2" Semestre. (T. LXXV, N» 17.) '21 



