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 et les y dans les plans 



j = mx -\- n , 



de façon que tons les x reviennent en même temps à leurs valeurs 

 fl, -I- ^, y— I, d'où il résultera que les jr reviendront en même temps à 

 leurs valeurs rt', + h\ \J — i : toutes les valeurs de z se seront échangées 

 avec leurs infiniment voisines. 



» Ramenons alors tous les x et tous les^ respectivement à a^ -hbg\J — i 

 et a„ + è'o \f—^i en suivant les mêmes lignes de raccord pour les x et les^, 

 mais avec des valeurs différentes de z, tous les s arriveront en même temps 

 à la valeur d^ -i- b,] \l — i , et le système de valeurs de jr, j" et z se fermera. 



M L'intégrale définie correspondant à ce parcours sera une des périodes 

 de l'intégrale indéfinie Izcixd/, mais elle pourra être nulle ou finie, et il 

 s'agit de distinguer les deuK cas. 



» Nous commencerons par établir, ce qui est le point saillant de la 

 théorie, que les intégrales définies, relatives à deux suites [j. et // voisines, 

 auront identiquement même valeur. Eu effet, les points de deux pareilles 

 suites pourraient être raccordés entre eux par des lignes le long desquelles 

 z aurait constamment deux valeurs égales, et si c'est par exemple la suite p. 

 qui enveloppe la suite p,', pour rejoindre les points x =^ a, -+- b, \/— i, 

 J- =z a\-i- b\ y/— I > z = a\-\- b'\ \J — J , correspondant à cette suite p., au 



point x= ag-h bo \l—i, j = «„ + ^^'o V*— ^i z = a 'é + ^'ô \1 — i . intérieur 

 à l'une et à l'autre, on pourra côtoyer à une distance infiniment petite, entre p. 

 et p.', les lignes le long desquelles z aurait constamment des valeurs doubles, 

 et il arrivera de là que z recevant, dans l'aller, de |l;,' à jj., un système de ses 

 valeurs presque doubles, pour prendre ensuite dans le retour, de /j. à [a', 

 le système de ses autres valeurs infiniment voisines des précédentes, l'ac- 

 croissement qu'aura subi l'intégrale, en allant de [jJ à |u. et en revenant de 

 p. à p.', pourra être rendu aussi petit qu'on le voudra. La différence serait 

 exactement compensée si l'on substituait réellement le parcours relatif à [i' 

 au parcours relatif à p.. 



» Cela posé, si une suite p. n'enveloppe aucun point critique de 

 F(x, j) = o, elle pourra être réduite à rien, sans avoir cessé d'appartenir 

 au lieu F(a:, j) = o, et l'intégrale correspondante sera nulle. 



» Si elle enveloppe un seul point critique de F (a-, 7) — o, elle pourra 

 être réduite à ce point sans avoir cessé d'appartenir au lieu F(.r, r) = o, 

 et l'intégrale correspondante sera encore nulle. 



>: Mais si elle enveloppe deux points critiques de F(a-, /) = o, autour 



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