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GÉOMÉTRIE. — Équations de quartiques dont une partie se réduit à une droite 

 double. Note de M. H. -G. Zecthen, présentée par M. Chasies. 



« Dans une Communication (*) sur les caractéristiques des systèmes 

 élémentaires» des quartiques générales, j'ai donné une énuméralion com- 

 plète des courbes singulières qu'on rencontre dsfns ces systèmes. J'ai 

 ajouté les équations de quelques-unes de ces courbes limites (**); mais 

 il restait deux espèces dont je ne savais pas alors démontrer l'existence 

 d'une manière directe. Je me propose notamment de remplir cette lacune 

 en traitant ici des quartiques dont une partie se réduit à une droite double, 

 au nombre desquelles se trouvent les deux courbes qui restaient. 



» On représente dans l'analyse un système de courbes par une équation 

 dont les coefficients sont des fonctions d'un paramètre k. S'ils en sont des 

 fonctions rationnelles, ce qui n'est qu'un cas très- particulier, le degré de 

 l'équation par rapport à k est la caractéristique jx. 



» On peut obtenir qu'une courbe limite qu'on veut représenter corres- 

 pond à /f = o, et qu'une courbe qui tend à coïncider avec la courbe limite, 

 sa courbe « pénultième », suivant l'expression de M. Cayley, correspond 

 à une valeur infiniment petite de k. Les coefficients dont les rapports avec 

 A" tendent à une limite finie seront infiniment petits de l'ordre a, et de 

 même les polynômes où entrent ces coefficients. Nous désignerons par les 

 majuscules A, B, G,. . . des fonctions des deux coordonnées x et /, et par 

 les minuscules correspondantes a, b, c,. . . les fonctions de x qu'on en ob- 

 tient pour j- = o, et nous indiquerons par des accents A', A", A'", . . . que 

 les fonctions sont infiniment petites des ordres i, 2, 3,. . . , et par des in- 

 dices A,, ^2,.. . les degrés des fonctions par rapport aux coordonnées. 



» L'équation 



(i) A^j- + a; = o 



représente (la courbe pénultième d') une quartique composée d'une droite 

 double ^- = o et d'une conique A, = o. Les valeurs infiniment petites 

 (d'ordre ^) de j sont réelles ou imaginaires, suivant que a\^o, et d^ = o 

 détermine les sommets de la droite double qui ne coïncident pas avec ses 



{*) P^oirlè Compte rendu, du 23 septembre 1872; p. ']o3. 



(**) C'est à M. Cayley (|u'on doit la notion ainsi que la représentation de la quartique 

 composée de deux droites doubles douées de six et de trois sommets (voir le Compte 

 rendu, du I i mars 1879.). 



