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 points d'intersection avec la conique. Il n'y en aura donc que quatre. Le 

 nombre des conditions auxquelles on peut soTimettre ces courbes n'étant 

 que II, on n'en trouve pas, en général, dans un système dequartiques. 



» On ne peut plus faire usage de cette détermination des sommets si A',^ 

 est, à une quantité infiniment petite du deuxième ordre près, un multiple 

 de j-, ou si A'^ = 2A'^j- -h k\. fj'équation 



(2) A„j=+ aA'jj + a; = 



représente une courbe limite dont les sommets se déterminent par 



( 3 ) à^ — a2(i\= o. 



» Il y en a donc six. Si Ao est un carré complet, disons A3 = jr-, la co- 

 nique A2 se réduit à une droite double douée de trois sommets déterminés 

 jjar A'g = o (courbe de M. Cayley). Toutefois, comme ces derniers sommets 

 senties points d'intersection de la courbe pénultième avec la droite x=:o, 

 on ne peut appliquer cette représentation au cas où les courbes du système 

 doivent passer par un autre point donné de cette droite. 



-)) L'équation (3) n'est plus applicable au cas où la fonction A',' — AjA"^ 

 est, à une quantité in6niment petite du troisième ordre près, divisible parj-. 

 Elle le sera exactement 



1° si «2 = ^?j «'3 = ^'2 b,, d\ = b'^; 



2" si «2 = ^21 ^3 = fil b\ , n'[ = «2^1^- 



)) On verra, dans ce qui suit, qu'il suffira pour notre but actuel d'avoir 

 égard au premier cas. Soient donc 



I A2 = b'I + C, j, 



(4) A',^b,h\_+C,j, 



( A\ = bi + c;j-4- <(•). 



M Alors l'équation (2) représente une quartiquc composée d'une co- 

 nique et d'une droite double qui lui est tangente. Les sommets simples 

 se déterminent par l'équation 



A'j'— A2A; = o, 

 si l'on Y substitue 



^-^ 



(*) On peut renfermer dans C'j et C" les ternies infiniment petits d'ordre sKpi-ricur de A, 

 et de Aj, s'il y en a. 



